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 六囚人六帽子
難易度：★★★
 千夜一夜
2022/07/13 21:50
レイコクかつキマグレな国王が再び例の監獄を訪れた。 監獄の所長代理は突然の来訪に平身低頭である。 しくじった前所長の例もある。 まずいことをすれば自らの命すら危ういと 所長代理は震え上がった。 所長室。 国王「所長代理、前所長を独房から出してここへ。 前所長は簡易寝台に寝かしつけ 手足およびに胸部を寝台に拘束、 アイマスクで目隠しをし、猿轡をかませ、 耳にはヘッドホンをつけて ビバルディの四季を大音響で聞かせておけ。」 代理「御意。」 やがて前所長が連れてこられた。 国王「白い帽子を１つ、赤い帽子を５つ、 黒い帽子を５つ、用意せよ。」 代理「ははっ。」 帽子が所長室に運び込まれた。 国王「所長代理。昨年死刑を免れた例の５人を 独房から出してここへ。その際には全員手錠およびに目隠しを。」 代理「御意。」 アン、ベル、キャス、デライラ、エリザが所長室に到着した。 ５人ともに皆、目隠しされ手錠をはめられてはいるが 誇り高く胸をはっている。 国王「明朝、お前たち５人およびにもう１人の死刑執行を行うことにした。」 ５人ともに胸をはったままだ。 国王「ついては、明朝の死刑執行の予行演習をこれから行う。 まじめにつとめるように。」 ５人の死刑囚は無言だった。 国王「所長代理、エリザの目隠しをはずしたまえ。」 代理「はっ。」 目隠しをはずされたエリザが所長室を見回すと、 寝台に何者かが拘束されて横たわっていた。 国王「エリザよ、気がついたか。 今、ここに拘束され横たわっている人物こそは、 この監獄の前所長である。」 ５人の死刑囚は一斉に息を飲んだ。 国王「エリザよ、お前も知らない事実を教えよう。 前所長はエリザ、お前の血縁上の父親なのだ。」 エリザ「そんなばかな話は信じられない。」 国王「前回のお前たち５人の死刑執行にあたり 実の親としての心情からなのか 不当にもイカサマを仕込んだ罪は大きい。 彼は罪人となり、収監され、ＤＮＡ検査され、 エリザ、お前との親子関係が立証されたのだ。」 エリザ「そんな……」 国王「おっと。明日の予行演習なので無駄口はよそう。 所長代理。前所長に白い帽子をかぶせよ。」 代理「御意。」 国王「死刑囚諸君。 白い帽子は明日の電気椅子による処刑を意味する。 彼こそがお前たち５人以外の６人目の死刑囚だ。 なお。赤い帽子は縛り首、黒い帽子は銃殺だ。」 前所長に白い帽子がかぶらされた。 国王「前所長をのぞいて おまえたち５人の処刑順序はこうだ。 アン、ベル、キャス、デライラ、エリザ。」 国王「諸君。これから余はコイントスを５回行う。 ５回ある処刑の順番ごとに、処刑方法を決めていくのだ。 １回ごとに、表が出れば赤い帽子、裏が出れば黒い帽子を、 当該死刑囚にかぶせる。」 国王が１回目のコイントスをして裏が出た。 国王「裏だ。アンには赤い帽子をかぶせよ。 今日は予行演習だからどの色かは教えるが、 明日の本番では教えぬ。」 所長代理がアンに帽子をかぶせた。 ついで、ベル、キャス、デライラ、エリザについても 同様に帽子の色が赤黒からランダムに選ばれ、 それぞれにかぶせられた。 国王「エリザ以外、すなわちアン、ベル、キャス、デライラについて 帽子をはずし、独房に戻し目隠しと手錠をはずしたまえ。」 ４名はそれぞれ独房に戻された。 やや時間が立った頃、 アン、ベル、キャス、デライラの４名の独房内にあるモニターに 画像が映し出されるとともに 国王の咳払いがスピーカーから聞こえてきた。 画像は次のようなものだった。
国王「諸君。モニターに映る画像は 前所長をのぞく５名の処刑の順番と帽子の色だ。 今日は予行演習、明日になれば内容は異なるが、同様に提示する。」 ４名は画像を見た。処刑順には名が書いていない。気になる。 国王「当初、アン、ベル、キャス、デライラ、エリザの順に 処刑する予定であったが 君たちが独房に戻ったのちの エリザの親孝行の心情に感心したので エリザのみ、処刑順として １番最初から５番目まで、好きなところに割り込んでよいとした。 また、帽子の色も赤か黒を選ばせることとした。 その際にはいたしかたがない、 作成したばかりの予定表に書かれている お前たち４名の帽子の色も見せてやった。 本日は予行演習だから具体的に教えてやろう。」 画像が切り替わった。 国王「最初はこうだったのだが…」
国王「５番のエリザは黒の帽子を望み、繰り上がる２番目を望んだのだ。 よって、何人かは、それぞれ順序が繰り下がった。 見るがよい。」
国王「親孝行なエリザには明日も同様に、 縛り首か銃殺かを再び選ばせるつもりだし 自分の処刑の順番も選ばせるものとする。 なお、エリザ以外の処刑の順は、 アン、ベル、キャス、デライラの順とする。 いわば…エリザは割り込むかたちになる。まあ元の順でもいいがな。」 ４名は、それぞれ、独房内で考え始めた。 国王「エリザとお前たち以外にも 白い帽子をかぶった前所長がいる。彼もまた処刑される。 全体で６名の処刑順が決まっており、 そのうち前所長をのぞいた５名分をさっきモニターに映したのだ。」 国王「ここで諸君らに問おう。 前所長は何番目に処刑されると思うか。 明日も同じようにこの質問を行う。」 みんなは大変に混乱した。 知るわけない、わかるわけないっっ 国王「予行演習は以上だ。 もしも、明日、アン、ベル、キャス、デライラの全員が さっきの問いに正答したならば ６名全員を無罪放免としてやろう。 さもなければ、全員死刑だ。 ４名が出鱈目に答えると生還する確率は 約0.077％ほどかね？ 」 独房内のモニターがオフになった。 《文字数制限により問題文は続きます。》
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回答募集は終了しました。
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ヒミツ
《問題文続きです》 夕食になった。 アン、ベル、キャス、デライラ、エリザは、 食堂に集められ最後の晩餐となった。 アン「エリザ、私たち４名が去ったあと、所長室で何があったの？」 エリザ「それがね、 まず国王がサイコロをふって３が出たの。 それでね、前所長…父…の処刑順番は３と決めたって言うのよ。 明日も私の目の前でサイコロふるって。」 アン「ふむ、それで？」 エリザ「国王はこんなリストを書いたの。」
エリザ「で、このリストを私にみせながら、 何番目に死にたいか、縛り首と銃殺とどっちがいいか」 ベル「聞いてきたのね？」 エリザ「うん。」 キャス「で、黒希望にしたの？」 デライラ「何番目に？」 エリザ「うん、父より先に死にたいし でも、少しでも長く生きたいし、 縛り首は苦しそうなんだもの。」 アン「で、リストはこうなったと。」
エリザ「ちがうの。こう。」
ベル「独房からはこの２つを区別できないわね。」 デライラ「そうか、国王みずからサイコロで決めた前所長の３番目ってのは不動なわけか……」 キャス「いかにも頑固な国王ね！！」 アン「明日になれば 国王のコイントスもサイコロも今日とは違う出目になるけど。」 デライラ「でも、国王は頑固だから、 今日の予行演習通りにするね、きっと。」 ベル「そうか…エリザが何番目に処刑されたいか、赤黒どちらがいいかを、 うまく申告したら…」 アン「私たち４人とも、 明日、独房のモニターから知らされる情報で 正答を言えるかも？」 ■問 ベストな戦略はどのようなものでしょうか。一例をあげてください。 ヒミツ
この後、 内務省秘密警察派の副所長の陰謀により前所長が密告されたこと、 国王直属の特務機関がそのことに気がつき国王に報告したこと 独裁傾向を深める内閣をなんとかしよう、あるいは 密かに反政府勢力を支援しようと 国王が民主派に肩入れしていること などなどサイドストーリーがあったのですが、 文字数制限がありまして…… 問題文から割愛しました。 結構、所長代理がいいやつなんですが。 いやいやそんなことより 先日出題させて頂いた《五囚人五帽子》と、物語空間を共有してございます。 この問題のみをご覧になった皆様、申し訳ございません。
アン「こんなのはどうかな。 エリザは私とベルとキャスとデライラの帽子の色を知っているわけじゃない。 で、エリザは自分の帽子の色を決められる。 全体で５人だから、 赤が奇数で黒が偶数、赤が偶数で黒が奇数、 のどちらかをエリザが決められる。 赤が奇数なら前所長の処刑順は奇数、逆ならそれなりに。」 ベル「うーん。確率１/２？」 デライラ「そうじゃないよ。 仮に赤い帽子が奇数番目としようよ。 アンとベルとキャスと私が、１・３・５から 思い思いに適当に選んだら…４人全員が正答する確率は低いよ。」 キャス「奇数なら１、偶数なら２と言う取り決めをしたら？」 アン「それでも勝率は１/３よね……」 ――― ５人の会話の様子を音声＋映像で監視カメラで観察していた 所長代理と国王はため息をついていた。 代理「難航していますね。大丈夫なのでしょうか……」 国王「正解メモ、おまえ、渡してくるかい？」 代理「えーー！？ 秘密警察にバレてしまったら私も前所長同様に囚人ですよ？？」 国王「大丈夫だ、副所長派は全員今眠らせてある。 前回の教訓を得ているのだよ。 今度は証拠は残さない。 我が特務機関は優秀なのだ。内務省の手先のガキどもなど手も足も出ない。」 ヒミツ
前所長がエリザの父親という衝撃の事実
 期待を超えた壮大なストーリー！！ ありがとうございます  答えはこんな感じでしょうか？ あと，みんなが「前所長は〇番目に処刑される！」と正しく（？）言い当てた場合，国王は処刑をしてもしなくても前日に予告した通りの行動にできないパラドックスっぽくなってるところも面白いです． 
千夜一夜
６人全員釈放！ ―― なんともうしましょうか。 想定解と実質的に同じような解なのですが 囁き内のご説明は私が用意していた解説よりも ずっとスッキリしていてわかりやすいです。 模範解答ですね。 参りました。 ―― 五囚人五帽子の続編予定が 「九千円ゲットだぜ」に化けてしまっていました。 今回の六囚人六帽子は全然「帽子問題」にならなくて ごまかしちゃいました。 ―――
皆様に謎の書き付けを御覧頂きたく存じます。 国王のポケットにはいっているアイデアノートです。
所長代理のオフィスのデスクにこのような紙切れがあったので 国王直属の特務機関《王の槍》が回収済み。証拠隠滅の由。 ―――――― ヒミツ
初めまして、初めて参加させていただきます。
こんな感じでしょうか。 コメントの使い方等の不手際があればご指摘下さい。 --------------------------------------------- こちらこそよろしくお願いします。 千夜一夜さんは過去にも素敵な問題をたくさん投稿されていますね。 そちらも少しずつ挑戦させていただきたいと思います。 内緒話の性質は回答段階では全く気づきませんでした。 目の付け所が素晴らしいですね。 ちなみに私は数列的に考えて左から表を作ったのですがその順番だと、 0000 A 1000 B 0100 C 1100 A 0010 B . . . となるようです。 性質2を見ると右から順に一桁目と考えたほうが２進数的で分かりやすいのかな、というふうにも思いました。 
千夜一夜
雲上人 キタ━━━(;´Д｀);´Д｀);´Д｀);´Д｀);´Д｀)━━━！！！ ※左から順にアン、ベル、キャス、デライラ、エリザ。 ――― 六囚人六帽子ならぬ ｎ囚人ｎ帽子 の一般形について、 かなり厳密な解を構成いただきました。 興味を持って頂いて有り難うございます！！！ クイズ大陸上陸、まことにおめでとうございます。 （私も上陸して日が浅い新人です、どうぞよろしくお願いいたします） ――― 内緒ばなし 以下、面白くないですか！？ （記号はlogiさんによる囁きに準じます。また、１人分省略します。） A: 0000 1111 0110 1001 0011 1100 B: 0010 1011 1000 1110 0101 C: 0001 0111 0100 1101 1010 D: 0000 1111 0110 1001 0011 1100 E: 0010 1011 1000 1110 0101 F: 0001 0111 0100 1101 1010 ■性質１ A≡D B≡E C≡F ■性質２ ABC だけみたときに、（性質１をふまえつつ） 0000 A 0001 C 0010 B 0011 A 0100 C 0101 B 0110 A 0111 C 1000 B 1001 A 1010 C 1011 B 1100 A 1101 C 1110 B 1111 A となって A→C→B の順になっています。
No.7( >>7 ) の解答欄にて logi さんからの追記があることをさきほどみつけました。 お返事が遅れて申し訳ございません。 また、もろもろ有り難うございます。
なるほど、左から始めてもサイクリックなのでしたか。 たぶん、次のことも関連しているのかもしれません。 私が前に書いたことですが D: の部分に変な改行がありました。改行の意図は…… 4桁を wxyz としたときに、 wのビット反転をW、x、y、zについてX、Y、Zを同様に定義しますと、 ４桁の ZYXW を作れば面白そう、という点を意識して改行しています。 wxyz=0000 のときに ZYXW=1111 となりますし、また wxyz=0110 のときに ZYXW=1001 となります。 こうした関連を、この場限りなオレオレ用語で 【共役】ということとします。 0000と1111とは互いに共役の関係にあり、 0110と1001とは互いに共役の関係にある、というわけです。 D: これの最初の４行は、互いに共役な４桁が２組含まれていることを示しています。 残りの２行はどういうことかといいますと、 0011 に共役なのは、 0011 それ自身、 1100 に共役なのは、 1100 それ自身、ということになります。 こういうのを、この場限りなオレオレ用語で 【自己共役】ということとします。 グループＤに含まれるビット列では、 その共役もやはりグループＤに含まれる、 そうした性質があると読み取れます。 以上が、謎の改行の意図なのでした。 他のグループについても全く同様になっています。 wxyzとZYXWとの対応があることが、 《数列的に考えて左から表を作った》ときと、 《数列的に考えて右から表を作った》ときと、 両方で サイクリックになる理由の「ひとつ」になると思われてなりません。 こうした性質は、パズルを解く上で特段な役には 立たないこともまた面白いことです。 |
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