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 拾伍乃吉備団子
難易度：★★★★★
 千夜一夜
2021/12/31 23:06
ある日の鬼退治訓練高等学校にて。 今日もサルキジイヌの３名は補習授業中でありました。 お昼になり、給食の時間となりました。 あまい吉備団子が８個、しょっぱい吉備団子が８個、合計１６個が３名に支給されました。見かけはどれも同じで食べてみて初めて味がわかるという趣向です。 そこへ風紀担当の一寸法師先生が乱入してきました。 先生「１６個を３名で平等に分けるなんて不可能だから、私がひとつ食してやろう。パクっ」 サルキジイヌ「あーーーー」 先生「諸君っ。知っているか？ あまい吉備団子の重さは１０グラム、しょっぱい吉備団子の重さは１０.１グラムなのだ、正確にな。給食室の調理師にたったいま聞いてきたから間違いない。」 サキイ「ギャースギャース ＼(>_<)／ ヒドイー」 先生「静粛に諸君！ ここに取り出したるは精密天秤。ただし、天秤につきものの重りはここにはない。 この天秤を使って、私がたった今、食した吉備団子があまかったのか、あるいは、しょっぱかったのかについてを確実に判定する方法を考えたまえ。 もしも方法がみつかれば明日の給食にあたっては特別に今日の何倍もの個数の吉備団子をやろう。」 イヌ「先生！？…何倍って？」 先生「もちろん、天秤の使用回数には制限があるのだが……１０回以内で確実に判定できる方法を見つけたならば３倍の吉備団子、８回以内で確実に判定できる方法を見つけたならば６倍の吉備団子を明日の給食で支給してやろう。」 サキイ「うおおおおー」 ―― 問１：「重い団子が７個、軽い団子が８個」もしくは「重い団子が８個、軽い団子が７個」のどちらであるのか、天秤使用回数を１０回以内で、確実に判定できる方法を考案してください。 問２：８回以内ではどうなりますか？ ―― 問１についての想定解は、カッコいい？です。言われてみれば、そりゃそうだよね、という。 問２は難問です。 ―― 難問です。☆☆☆☆☆クラスです。 じっくりとお考え頂ければ幸いです。 ちなみに、更に回数を８回未満に減らせることが判明しているのですが、そんな超難問、出題者の千夜一夜には解説不可能です。
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回答募集は終了しました。
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15個に
A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,X と名前を付ける。 左にA1～A7、右にB1～B7を載せて比べる(1回)。 (1) 左に傾いた場合。 ★順番にA1とB1を交換、A2とB2を交換、…としていくことを(実際にはしないが仮想的に)考える。A(n-1)とB(n-1)を交換した後は左に傾くが、AnとBnを交換したときは左への傾きが解消されるとき、nを「解消ポイント」と呼ぶことにする。解消ポイントは必ず1つ以上あることに注意。★ 実際に行う操作はここから。 左にB1～B3とA4～A7、右にA1～A3とB4～B7を載せて比べる(1回)。 (1-1) それでも左に傾いた場合。 4,5,6,7の中に解消ポイントがある。 左にB1～B5,A6,A7、右にA1～A5,B6,B7を載せて比べる(1回)。 (1-1-1) それでも左に傾いた場合。 6,7の中に解消ポイントがある。 左にB1～B6,A7、右にA1～A6,B7を載せて比べる(1回)。 →解消ポイントが6か7か分かる。 →(1-決)へ。 (1-1-2) 右に傾いた場合。 4,5の中に解消ポイントがある。 左にB1～B4,A5～A7、右にA1～A4,B5～B7を載せて比べる(1回)。 →解消ポイントが4か5か分かる。 →(1-決)へ。 (1-2) 右に傾いた場合。 1,2,3の中に解消ポイントがある。 (1-1-1),(1-1-2)と同様にして、どのnが解消ポイントか分かる(最悪2回)。 →(1-決)へ。 (1-決) 解消ポイントが分かったのでnとする。Anは重い団子、Bnは軽い団子。 (もしここまででやっていなかったら、)左にB1～BnとA(n+1)～A7、右にA1～AnとB(n+1)～B7を載せて比べる(1回)。 (1-決-1) 右に傾いた場合。 解消ポイント前：左に重４軽３、右に重３軽４ 解消ポイント後：左に重３軽４、右に重４軽３ となっていなければならないので、余りの団子Xが重い団子なら最初の内訳重８軽７、軽い団子なら最初の内訳重７軽８になる。 最後にAnとXを比べれば終了(1回)。 (1-決-2) つりあった場合。 解消ポイント前：左に重５軽２、右に重３軽４ 解消ポイント後：左に重４軽３、右に重４軽３ または 解消ポイント前：左に重４軽３、右に重２軽５ 解消ポイント後：左に重３軽４、右に重３軽４ となっていなければならないので、余りの団子Xが重い団子なら最初の内訳重７軽８。軽い団子なら最初の内訳重８軽７になる。 最後にAnとXを比べれば終了(1回)。 (2) 右に傾いた場合。 (1)と同様(最悪5回)。 (3) つりあった場合。 「左に重４軽３、右に重４軽３」または「左に重３軽４、右に重３軽４」になっている。 前者なら最初の内訳重８軽７、後者なら最初の内訳重７軽８になる。 A1～A7に対して最初の15個と同じようなことを再帰的にして、重４軽３か重３軽４か見分ければいい。 A1～A7にC1,C2,C3,D1,D2,D3,Yと名前を付けなおす。 左にC1～C3、右にD1～D3を載せて比べる(1回)。 (3-1) 左に傾いた場合。 (1)と同じように、n=1,2,3の中から解消ポイントを見つける(最悪2回)。 (3-1-決) 解消ポイントが分かったのでmとする。Cmは重い団子、Dmは軽い団子。 (もしここまででやっていなかったら、)左にD1～DmとC(m+1)～C3、右にC1～CmとD(m+1)～D7を載せて比べる(1回)。 (1-決)と同じようにして、CmとYを比べれば最初の内訳がわかる(1回)。 (3-2) 右に傾いた場合。 (3-1)と同様(最悪4回)。 (3-3) つりあった場合。 「左に重２軽１、右に重２軽１」または「左に重１軽２、右に重１軽２」になっている。 前者なら最初の内訳重８軽７、後者なら最初の内訳重７軽８になる。 C1とC2、C1とC3を比べる(2回)。 C2,C3がどちらもC1より重ければ前者、どちらもC1より軽ければ後者、どちらかが重くてどちらかがつりあえば後者、どちらかが軽くてどちらかがつりあえば前者。 これで最悪6回で判別できる？ 
考えてみたのですが、8回以内どころか6回以内でできてしまいました。
どこか間違ってるのかも…  
千夜一夜
こ…これは！！ う…… う…… いけるかも！？ お寄せ頂きました解法を熟読中です。 暫くお待ちください！！ ―― 精読後の追伸です。 いけてるようです！！！！ 参りました！ 凄いですね。 ―― 1/8追記 囁きを個別公開させて頂きます。 解消ポイントの特定の所で、
「(1-1-2) 右に傾いた場合。」 「(1-2) 右に傾いた場合。」 としていますが、 「(1-1-2) 左に傾かなかった場合。」 「(1-2) 左に傾かなかった場合。」 の間違いです。 左に傾いていたのが、つりあいに変わった場合も「解消」にカウントされています。
すみません、>>1の解答の細かな訂正です。
千夜一夜
了解いたしました。
―― 半日後の追伸です： >>3 の みれいさん による解法が、用意していた私の想定解と一致していましたのでスラスラと判定できました。 一方、なるほどさんによる、思いもつかない方向性には、本当に本当に驚きかつ…この私のボンクラな脳みそが噛みしめるまで、もう少しだけお時間を頂戴したいと存じます。 ―― １月３日での追伸です。 (3-1-決) で、 Y が決定しますが、 その後、 X について触れられていないのは何故なのか、悩んでいます。 ご教示を賜ればと存じます。 ―― 1/8追記 囁きを個別公開させて頂きます。 まず、3個ずつの団子からなるグループを5つ作り、その重さの関係を調べる。
3つのグループの重さの関係が確定するまでに3回、 4つのグループの重さの関係が確定するまでに更に2回（合計5回） 5つ全てのグループの重さの関係が確定するまでに更に2回（合計7回）比較すれば十分である。 ここで、各グループをA,B,C,D,Eとした時、重さがA≧B≧C≧D≧Eと仮定しても一般性を失わない。 グループ間の重さの関係と、重い団子の個数は以下の通りになる： A＞B＞C＝D＞E：重い団子は7個。Aに3個、Bに2個、CとDに1個ずつ A＞B＞C＝D＝E：重い団子は8個。Aに3個、Bに2個、CとDとEに1個ずつ A＞B＝C＞D＞E：重い団子は8個。Aに3個、BとCに2個、Dに1個 A＞B＝C＞D＝E：重い団子は7個。Aに3個、BとCに2個ずつ A＞B＝C＝D＝E：重い団子は7個。Aに3個、BとCとDとEに1個ずつ A＝B＞C＝D＞E：重い団子は8個。AとBに3個ずつ、CとDに1個ずつ A＝B＞C＝D＝E：重い団子は7個。AとBに2個ずつ、CとDとEに1個ずつ A＝B＝C＞D＞E：重い団子は7個。AとBとCに2個ずつ、Dに1個 A＝B＝C＞D＝E：重い団子は8個。AとBとCに2個ずつ、DとEに1個ずつ A＝B＝C＝D＞E：重い団子は8個。AとBとCとDに1個ずつ A＝B＞C＞D＝E：未確定。AとBに3個ずつ、Cは1個か2個 「A＝B＞C＞D＝E」以外のパターンであればこの時点で確定するため、7回の比較で完了。 「A＝B＞C＞D＝E」パターンは、グループCに含まれる重い団子の個数が未確定なので グループCの3個と「Aから2個、Eから1個」の重さを比較することで確定する。8回の比較で完了。
最悪でも8回。
千夜一夜
最初の４行以外は、
出題時に私が用意していた解と完全に一致しています。 (^O^) なので正解メダル…なのですけれども、 本質的ではないところ、最初の４行の意味がわかりませんでした。 三行目までで得られた中間成果について、更にたった２回の天秤で４行目の最終成果が得られるとは、私には到底考えられません。 二行目と三行目の記述がなく、一行目と四行目だけが書いてあったならば、もろ手をあげて、無条件に正解メダルなのです。 些細な点ですが 疑問点を図示しますと。 三行目までで ☆○☆○☆○☆○☆ ただし○は重さの大小関係の序列が一直線に確定しているものとします。 また、☆は、あらたに序列に追加するメンバーが、どこに位置するかについての候補地です。候補地は５つあり、これを天秤２回では確定できません。 ―― 翌日になってからの追伸です。 >>5 にて解説を頂きました。 私のボーンヘッドでした。 追伸終わりです。 ―― それにしても…最初の４行以外の部分のアイデアですが、よくぞ発見なさいました。お見事です。 私なんて（記録を見返すと）このアイデアの発見に数週間は優にかかっています。
それにしても… なるほどさんの解法に穴がなければ…私の知る限りにおいて 「３つめ」 の６手ですます解法です。
私は慎重派ですので、まだどういうことなのかについて考えております。 4つのグループの重さの関係が確定した後、
●それらのグループの中に、重さの等しいペアがある場合 「候補地」は高々4つしかないので、天秤を2回使えば判別可能。 ●それらのグループの中に、重さの等しいペアがない（＝重さが全て異なる）場合 各グループの団子の組み合わせは、重いグループから順に ・重い団子が3個 ・重い団子が2個、軽い団子が1個 ・重い団子が1個、軽い団子が2個 ・軽い団子が3個 に確定する。 4つのグループに重い団子と軽い団子が6個ずつ含まれているので、第5グループの団子の構成は 「重い団子が1個、軽い団子が2個」か「重い団子が2個、軽い団子が1個」のいずれかになる。 第5グループと「2番目に重いグループ」の重さを比較すれば、どちらのパターンであるか判別可能。
No.3の4行目の具体的な方法。
これで「疑問点」のような状況に出くわしても、うまく行くはず。
千夜一夜
これは大変に失礼いたしました。
一般には不可能でも今回の状況下では可能なのですね！ 以下白字で記します。 今回の問題では「ワンペア」が二通りしかないことを完全に失念していました。 なお、一般的な解決方法は、先日出題いたしました、「木火土金水」の解法と同じです。 こちらの方法ですと、「一行目と四行目だけで意味が通る」というのが私の視点でした。 白字はここまで。 おみそれいたしました。 素敵なアイデアに目からウロコです。有り難うございました。 (3-1-決)でYが決まることで、C1,C2,C3,D1,D2,D3,Yの内訳が重４軽３か、重３軽４かがわかります。
すると、A1～A7,B1～B7の内訳が重８軽６か、重６軽８かがわかります。 すると自動的にXもわかります（前者なら軽くて、後者なら重いです）。
考えてくれてありがとうございます
 こういうことですが、どうでしょうか？
千夜一夜
あーーー！！！
単純なことだったのですね（恥… 御教示をまことに有り難うございました。 再度、精読してみます。 私の知る限り、６手解はこれで三種類めです。 なるほどさんのよりも私がつくった解のほうが、分岐が超複雑ですので御披露する気力も、とてもとても、おきないものです。 （出題時に想定していた８手解を更にチューンアップしたものです。微細な変更がたくさんあって…） うーん、なるほどさん によるバニッシングポイント（違）のアイデアは大変参考になります。強力なテク……勉強します。 ―― 追記： なんども考えましたが、穴はみつかりませんでした。 凄い解です。 有り難うございました。 ―― 1/8追記 囁きを個別公開させて頂きます。 5手できた まだ書きかけ
前提 ある状態で天秤が釣り合うとき、 二つの皿合計に乗っている甘と塩の種類数は偶数づつ。 ある状態で傾いていて、団子を1個ずつ交換したら逆が傾いたら二つの皿合計に乗っている甘と塩の種類数は奇数づつ。 なぜなら、交換した団子は甘と塩で、残りは個数が偶数づつなので。 解法 15個の団子を,A1～A7,B1～B7,S に分ける A1～A7,B1～B7の14個の団子の種類数が偶数づつなら、 甘8塩6または甘6塩8になるので、Sは先生が取ったのと同じ種類 A1～A7,B1～B7の14個の団子の種類数が奇数づつなら、 甘7塩7で、Sは先生が取ったのと違う種類 数字nに対して、 左にB1～BnとA(n+1)～A7 右にA1～AnとB(n+1)～B7 「nまで反転で測定」と書く。 例えば「4まで反転」なら、 左はB1B2B3B4A5A6A7,A1A2A3A4B5B6B7 Step1 団子偶奇推定 このstepでは、天秤を釣り合わせることを考える。 まず、左にAグループ,右にBグループの団子を置く。 (これは、「0まで反転」 ということになる。) 初手で釣り合えばstep2-Aに進む。 釣り合わないとき、 対称性により、左が重いとする。 ここで、もし「7まで反転」をやったら、右が重いことになる。 (7まで反転 だと左がBで、右がAだから) ループを考える 数字X,Yに対して、 「Xまで反転」では左が重いか同じで、「Yまで反転」では右が重いとする。 X+1=Yなら、ループStep2-Bに行く この時、「Xまで反転」では左が重いなら、奇数づつパターン 同じ重さなら、偶数づつパターンになる。 そうでないなら、XとYの平均切り上げの数字Zについて、「Zまで反転」を考える。 左が重いか同じならXをZにしてループ。 右が重いならYをZにしてループ。 とりあえず左が重いことにして、XをZにしてループ この場合、スタートのX=0,Y=7である。 例: X=0 Y=7 なのでZ=4 4まで反転だと左が重かった →X=4 Y=7 なのでZ=6 6まで反転だと右が重かった →X=4 Y=6 なのでZ=5 5まで反転だと右が重かった →X=4 Y=5 なので終わり。 奇数づつパターン 例: X=0 Y=7 なのでZ=4 4まで反転だと右が重かった →X=0 Y=4 なのでZ=2 2まで反転だと釣り合った →X=2 Y=4 なのでZ=3 3まで反転だと右が重かった →X=2 Y=3 なので終わり。 偶数づつパターン このとき、XとYの差が半分ずつになるので、Step1は最大4手であることが示せる。 Step2-A 初手つり合い 用事があるで後でまた書きます Step2-B 初手つり合い以外 Sを測定 ここまでで団子の偶奇性がわかったので、後はSを測るだけ 重さがわかっている団子とSを比較すれば、答えが出る。 ここで、X+1=Yで、 Xまで反転だと左が重いか、同じ Yまで反転だと右が重い よって、AグループのY番が重いことになる。それとSを比較でSが重いか軽いかわかる 先生が取ったのがSと同じか違うかわかっているので、Fin
5手できた まだ書きかけ
続きはまた後で
千夜一夜
1/6 20:00 頃、書いています。
時間がかかりまして申し訳ありません。 ５手解、実にうまくできているなあと思いました。 お見事、感服いたしました。 勉強になりました。 ―― 1/8追記 囁きを個別公開させて頂きます。 つづき
Step2-A 初手つり合い Sの重さを測りたい SとA1を比較 釣り合わなければ確定 釣り合えば、SとA1は同じ重さなので、(S,A1)と(A2,A3)を比較釣り合わなければ確定 釣り合えば、SとA1～A3は同じなので、(S,A1～A3)とA4～A7を比較 これは絶対に釣り合わない(A1～A7とB1～B7が釣り合うので、すべての団子が同じにはならない)
No8の続き
千夜一夜
2022 1/5 20:05
精読中です…… 少々お待ちを頂きたいと存じます。 ５手解？？ ……ガクガクブルブル…… ―― 完全に余談ですけれども、 問題の設定を引き継いで少しだけ替えます。 一寸法師先生が、吉備団子ひとつをパクりと食べてしまわずに、ほんのちょっとだけ形を歪ませて（重さは変わらない）元に戻したとします。 １６個の吉備団子があり、歪んだ団子が甘いか塩っぱいかを問うのですが、これには天秤が３回で済むことが知られています。 もちろん、歪んだ団子を計測できるので、パックリ食べたバージョンよりも、天秤使用回数が少なくて済むのですけれども。 歪んだ団子を戻す：３回 団子を食べてしまう：５回？？ たった２回しか差がでないなんてなかなか信じがたいです、本当に。 そんな先入観を砕きながら、WA_TLE さんの解を勉強中です。 ―― 1/6 20:00 頃、追記です。 ひとつまえの解答におきまして、感服メダルにさせていただきました。 有り難うございました。 ―― 1/8追記 囁きを個別公開させて頂きます。
千夜一夜
ゆがんだ団子、３回で１６個の解は実在いたします。 ゆがんだ団子のほうの問題はロシアの数学オリンピックのために、とある数学者が出題を提案したものです。（出題されたかどうかまでは調べきれませんでした。） そしてその問題を別の数学者がブログで紹介し、そのブログの読者の２名がコメント欄で解を提示なさいました。 日本でも話題になったようでして、複数の人々によりいくつもの解が発見されていまして、しかも、そうしたなかのひとつでは、１６個中６個を、いかなる分岐が発生していても、全く天秤にかける必要がないものになっておりまして… 気持ち悪いほどに不可思議です。 ゆがんだ団子は戻すけれども、そのかわりに、６個もの団子を一寸法師が食べてしまう。さて、天秤３回でゆがんだ団子が甘いか塩っぱいか判定せよ…に解があるのです！！ 以下白字にて。解答発表・感想募集に移行しましたので、白字を解除します。 先生が食べずに歪ませた団子を X とします。 残りの１５個の団子を ABCDE FGHIJ KLMNO とします。 Xがアマイかショッパイかを、天秤３回で調べたく思います。 以下は略解です。 初回の天秤は ①(XABC)Λ(DEFG) とします。 天秤の結果で２つに分岐します。 ①で傾いたら 天秤を２回使います。 ②(XA)Λ(BC) ③(X)Λ(A) これらよりXがアマイか否か確定します。終。 ①で釣り合ったら 次のように天秤を使います。 ②(XDEFG)Λ(ABCHI) ②で傾いたらXがアマイか否か確定します。終。 ②で釣り合ったら 次のように天秤を使います。 ③(XHI)Λ(ABC) ここまででXがアマイか否か確定します。終。 JKLMNOの６個は計測しません。 白字ここまで。
ご報告いたします。
なるほどさんとWA_TLEさんと、おふたりの解法のメインアイデア、そしてループ処理で二分木を使う点、ほぼ同様でした。 後日、回答募集が終了して、囁きが公開になりましたならば、（スレッドが緑表示） 是非、御二人の切り込み方法の素晴らしさを御堪能ください。 ―― いやあ、出題してみて良かったです。 ※ひょっとして mod 3 に書き換えて、もっとうまくいかないかなあと…無理でもチャレンジしてみたいと思います、これから。 (1-決)で、
「(もしここまででやっていなかったら、)左にB1～BnとA(n+1)～A7、右にA1～AnとB(n+1)～B7を載せて比べる(1回)。」 とかきましたが、「ここまででやっていない」場合というのが実際はあり得ませんでしたね。 n=7のときは直接はやっていませんが、一番最初の比較の左右入れ替えなので実際にはやっていることになります。 (2),(3-1),(3-2)でも同じことをしていて、それらを除けば5回でできますね。
よく考えると、>>1には無駄な文章があって、それを除くと5手でできますね。
WA_TLEさんのやり方も気になります。
千夜一夜
なるほどさん、おっしゃる通りですね。
―― 1/8追記 囁きを個別公開させて頂きます。
千夜一夜
WA_TLEさん。
この解はもしかしたら重９軽９に拡張してもそのまま使えませんかね？
千夜一夜
個別の公開作業、おわりました。
>>13 で触れられていた問題をあらためて書き直しこちらに記載するとともに、その詳解をコンパクトにまとめておきたく思います。 ■問題 コインが 18 枚あり、たがいに見分けがつきません。 このうち 9 枚についてはそれぞれの重さが 10 グラム、残りの 9 枚についてはそれぞれの重さが 11 グラムであるとわかっています。 18 枚中の特定の 1 枚の重さを X とします。残りの 17 枚の重さを A B C D E F G H I J K L M N O P Q とします。 天秤を３回使って X が 10 グラムなのか 11 グラムなのかを判定してください。ただし、天秤にのせるものとしては、 18 枚のコイン以外に、重りなどは使わないでください。 ■解答 weighing:(XABC)vs(DEFG) case:(<) | weighing:(X)vs(A) | case:(<) | | {X is 10g} | case:(>) | | {X is 11g} | case:(=) | | weighing:(XA)vs(BC) | | case:(<) | | | {X is 10g} | | case:(>) | | | {X is 11g} | | case:(=) | | | {X is 10g} | | endweighing: | endweighing: case:(>) | weighing:(X)vs(A) | case:(<) | | {X is 10g} | case:(>) | | {X is 11g} | case:(=) | | weighing:(XA)vs(BC) | | case:(<) | | | {X is 10g} | | case:(>) | | | {X is 11g} | | case:(=) | | | {X is 11g} | | endweighing: | endweighing: case:(=) | weighing:(XDEFG)vs(ABCHI) | case:(<) | | {X is 10g} | case:(>) | | {X is 11g} | case:(=) | | weighing:(XHI)vs(ABC) | | case:(<) | | | {X is 10g} | | case:(>) | | | {X is 11g} | | case:(=) | | | *impossible* | | | because of {X=A=B=C=D=E=F=G=H=I} | | endweighing: | endweighing: endweighing: 注１: weighing:(ホニャ)vs(ララ) は、天秤の左の皿に「ホニャ」、右の皿に「ララ」を乗せて計量することを意味しています。 また、case:() は、直前の weighing: の結果により手続きが分岐することを意味しています。case:(<) は左の皿が軽い、case:(>) は右の皿が軽い、case:(=) は釣り合うことを意味しています。 endweighing:は、分岐について全て記述しおわったとのマークです。 使用例 9 枚のメダル中、軽い 1 枚をみつけだしたい。メダルを A B C D E F G H I とする。 １回目に ABC を左に乗せ、 DEF を右に乗せるときには weighing:(ABC)vs(DEF) case:(<) | 左が軽いときの手続きをここに書く case:(>) | 右が軽いときの手続きをここに書く case:(=) | 釣り合うときの手続きをここに書く endweighing: と書くことにします。 それぞれの分岐ごとに、天秤計測を更に入れ子にして書くことができます。 weighing:(ABC)vs(DEF) case:(<) | weighing:(A)vs(B) | case:(<) | | {A が軽い} | case:(>) | | {B が軽い} | case:(=) | | {C が軽い} | endweighing: case:(>) | [ 今回は省略 ] case:(=) | [ 今回は省略 ] endweighing: 使用例終わり。 注2 | | | *impossible* | | | because of {X=A=B=C=D=E=F=G=H=I} とありました。 weighing:(XABC)vs(DEFG) で釣り合い、 weighing:(XDEFG)vs(ABCHI) で釣り合い、 weighing:(XHI)vs(ABC) で釣り合うことはありえません。 このときには {X=A=B=C=D=E=F=G=H=I} となりますが、10枚のコインが同じ重さになることは問題の設定上ありえないからです。同じ重さは 9 枚までです。 注3 weighing:(XABC)vs(DEFG) で釣り合ったもとでの weighing:(XDEFG)vs(ABCHI) の意味は weighing:(XX)vs(HI) と等価です。 これより、Xの重さが判定できます。 (XDEFG)は、(XXABC)と等しく、これと(ABCHI)とを比べているからです。 また、 weighing:(XABC)vs(DEFG) で釣り合い、 weighing:(XDEFG)vs(ABCHI) で釣り合ったもとでの weighing:(XHI)vs(ABC) は weighing:(XXX)vs(ABC) と同じ意味です。 これより、Xの重さが判定できます。 |
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