《問題》
次のようなゲームを考えます。

《ルール》
はじめにコインを裏が出るまで投げ続けて、それまでに表が出た回数をnとする。
最後にもう1度コインを投げて、表が出たら5ⁿ+1円獲得し，裏が出たら5ⁿ円支払う。

例えば、表表裏表と出たら26円獲得で，裏裏と出たら1円支払いです。
n回表が出た後に裏が出て、最後に表が出る場合をF_n，最後に裏が出る場合をB_nとします。
このゲームでF_n，B_nが起きる確率はどちらも(1/2)ⁿ⁺²です。

Aさんは次のように考えました。

0以上のすべてのnについて、次がいえる。
表がはじめにn回出るのはF_nかB_nが起きるときであり、それぞれ5ⁿ+1円の獲得，5ⁿ円の支払いである。
表がはじめにn回出るという条件のもと、F_n，B_nが起きる条件付き確率はどちらも1/2である。
表がはじめにn回出るとき、賞金の期待値は(1/2)×(5ⁿ+1)+(1/2)×(-5ⁿ)=1/2円である。
表がはじめに何回出ても得なので、このゲームに参加すると得である。

Bさんは次のように考えました。

表が全部で0回出るのはB₀が起きるときであり、1円の支払いである。
1以上のすべてのnについて、次がいえる。
表が全部でn回出るのはF_n-1かB_nが起きるときであり、それぞれ5^n-1+1円の獲得，5ⁿ円の支払いである。
表が全部でn回出るという条件のもと、F_n-1，B_nが起きる条件付き確率はそれぞれ2/3，1/3である。
表が全部でn回出るとき、賞金の期待値は(2/3)×(5^n-1+1)+(1/3)×(-5ⁿ)=-5^n-1+2/3円である。
表が全部で何回出ても損なので、このゲームに参加すると損である。

このゲームは得かつ損なゲームなのでしょうか？
そうでないなら、どこが正しくないのでしょうか？