LとRは1ではないのはすぐ分かる。
LL×R→2桁目がRだから(L,R)=(2〜8,9)(4,3)(4,6)(7,3)(7,6)(9,2〜8)だなってことを念頭に置きつつ、以下のことに注意して精査する。

･ALL×R→4桁
･LL×R→2桁目がR
･LL×R→1桁目がO
･ALL×O→3桁
･ALLとZEROに文字の重複無し

紙を使って少し確かめると、
(A,L,R)=(2,7,3),(6,7,3),(8,7,3)のいずれかと分かる。(この時点でO=1)
この中でつじつまが合うのは(A,L,R)=(8,7,3)
後はただの計算だけ。

8773687

答：　ALL(877)*OR(13)=11401 ZERO(2631)

ALLREAL　8773687

(1)　Ｏ≠０　∵先頭の数字なので
(2)　Ｌ×Ｒ＝Ｏ（mod10）より, ＬおよびＲ≠０、≠１、≠５

(3)　Ａ≠０　∵先頭の数字なので
(4)　Ａ≠１　∵Ｚ＝１になってしまうから
(5)　Ｏ≦４　∵Ａ≧２だと、積が４桁になってしまうから

ここでＬＬ×Ｒ＝ＲＯ（mod100）について考察

ＬとＲについて ２３４６７８９　の49通りについて、シラミつぶすと、
可能性があるのが下記６通りのみ。

Ｒ　Ｌ　Ｏ　OR
９　６　４ 49
９　７　３ 39
９　８　２ 29
６　７　２　26　　
３　４　２ 23
３　７　１ 13

ＡＬＬの範囲と候補　　　
５桁 ３桁
OR 下限 上限 候補
49　205　249 なし
39　257　333 277
29　345　499 388,488
26　385　499 477
23　435　499 なし
13　770　999 877

OR=29,39は、いずれもＡ＝Ｚとなって不適。
OR=26　は　Ｚ＝２となって不適

残る　ALL(877)*OR(13)=11401 ZERO(2631) が解。

8773687

定理：3桁の11の倍数aが 十位>一位 のとき、十位は a/11 の数字根である。
（証明略　2桁×11で繰上りのない筆算を考えれば分かる）

ALL*O<ALL*R より、O<R

ALL*R=ZERO の下2桁について、上の定理より L*Rの数字根=R
これより、(L,R,O) の組は下のいずれか。

(L,R,O)=(4,3,2),(7,3,1),(4,6,2),(7,6,2),(2,9,8),(3,9,7),(4,9,6),(6,9,4),(7,9,3),(8,9,2)


ここから候補を絞る手段が見つからなかったので、答えが出るまで1個1個試してみました。
たまたま早い段階で見つかった後の消化試合。

８７７×１３＝２６３１＋８７７０＝１１４０１

Ａ×Ｏ＜１０　ということ以外は、
ほぼ試行錯誤で実施しました。

一か八かで、これらを
最初にＡ，Ｏに当てはめてみたら時間はかからなかったかもしれません。