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 玉の足らない抽選機（実務バージョン）
難易度：★★★
 たっくん４
2018/11/17 21:54
ガラガラ抽選機問題、続編です。
http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=19264 商店会会長「今年の商店会の福引は、商品に限りがあるので１等から４等までだ。 １等〜４等の確率の比が １：３：６：１０ になるようにして欲しいのだ」 担当者「三角数の比ですか。なんにしても玉が合計で２０個あればＯＫですね」 会長「いや、抽選機の中に玉が＊個しか無いのだよ。その玉に、事前に塗ったり書いたりは自由にして良いのだが」 担当者「…一人の抽選で、抽選機を何回か廻させて、判定に使う玉の個数を複数にすれば可能です」 さて、担当者は後日、上記条件を満たした案を３つ提出しました。 案１：ハズレ無しで、抽選者全員にもれなく景品が行き渡る（一等確率は 1/20） 案２：アタリ（等級アリ）とハズレの確率が1/2ずつ（一等確率は 1/40） 案３：アタリ確率が1/3、ハズレ2/3。（一等確率は 1/60） 商店会長がどの案を採用したかはご想像にお任せするとして  、それぞれの案の、抽選機の中の玉数と判定方法をお答えください。 諸注意 × 一人の抽選途中での抽選機の中の玉の出し入れは禁止。もちろん抽選玉を受ける皿の中の玉の出し入れも禁止。 × 等級の判定は「最終的に抽選玉を受ける皿にある玉」だけで判定すること。 × 抽選機を廻した後で、そこまでに玉が出た順番を、等級の判定や、抽選機を追加で回すかどうかの判断に使うのは一切ダメ。 × 最初に戻って一からやり直し、もダメ。 △ できるだけ乱数表に頼らず、平易なルールを知るだけで「この玉の組み合わせが１等！」と理解できることが望ましい。 △ 玉に情報をゴチャゴチャ記すのはちょっとみっともないかも。 1/20 とか1/60というのは実に作りやすい分母で、題意を満たす解は前回の問題の比でなく多いです  どしどしご解答ください。私の想定解は小学一年生にもゲーム感覚ですぐ理解できる判定方法だと自負しています
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回答募集は終了しました。
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10個の玉に，ミス，2，4，6，7，9，12，14，19，23と記入し抽選機に入れます．
出た数字のポイントが敵に与えられるダメージで，3回攻撃できます． 倒せたモンスターに応じて等数が決まります． 案1：ゲームレベル：イージー ドラゴン HP 48 … 1等 ゾンビ HP 39 … 2等 ゴースト HP 29 … 3等 スライム HP 6 … 4等 案2：ゲームレベル：ノーマル ドラゴン HP 51 … 1等 ゾンビ HP 44 … 2等 ゴースト HP 37 … 3等 スライム HP 29 … 4等 案3：ゲームレベル：ハード ドラゴン HP 54 … 1等 ゾンビ HP 46 … 2等 ゴースト HP 40 … 3等 スライム HP 34 … 4等 
ゲーム感覚ってこういうこと？
案1--3まで玉の個数も情報も全く変えずにできるように考えました． 小学一年生，最初に「ミス」が出た日にゃぁ……  
たっくん４
a2wz0ahz さん、ご参加ありがとうございます。
足し算攻めですね。私の想定解とは違うのですが、a2wz0ahz さんがこの解をくださることは想定していて、いろいろ考えてはいました 。 ただし３つ共通は想定していませんでした  ハズレ無し部門
別にサイコロの目である必要は無いのですが、気分で・・・  サイコロの目の１〜６が印刷されている玉を各１個ずつ用意する（計６個） ３回ガラガラする。 一等は、４、５、６の目が含まれていない場合（つまり１、２、３） 場合の数１ 二等は、一等を除いた上で、５、６が含まれていない場合 場合の数４ー１＝３ 三等は、一、二等を除いた上で、６が含まれていない場合 場合の数１０ー４＝６ 四等は、６が含まれている場合 場合の数１０ 全事象の場合の数が（６・５・４）／（３・２・１）＝２０なので、 これで、題意を満たす。
こんにちは
 
たっくん４
想定解と同じ方法です。私の解の方が等級判断がわかりやすいと自慢したいところです
1等、2等、3等、4等と書いた玉と何も書いてない玉2個の計6個を入れ、
3回廻してもらいます。 出てきた玉に書かれた等数のうち、一番悪いものをその人の等級とします。 例えば、 2等、3等、4等が出たら、4等 1等、2等、等なし、が出たら、2等
案1のみ答えます。
たっくん４
まさに想定解です。 ありがとうございました。
前問の答えからして、
1回抽選したら出た玉はすべて抽選機に戻してから次の抽選をすると思われます。 各等級の出る確率は毎回固定のはずです。 1等〜4等の確率の比を1:3:6:10にするということは、 賞品の個数がこの比になっているためだと思われますが、 実際の結果がぴったりこの比率になることはまずありません。 1等ばかり出る可能性も考えられます。 賞品が足りなくなるという事態を避けるためには、賞品を多めに用意しておくか、 どれかの等級の賞品がなくなったら他の賞品が余っていても打ち切る等するしかなく、 あまり実務的とは思えません。
この問題の設定について
たっくん４
商店街の福引としたら実務的ではない、その点はおっしゃるとおりです。
反論しません。 実はこれ、条件設定から考えても、「福引」ではなくて「＊＊」で考える確率設定なんですよね。 １０個で、当たりハズレ確率１／２ずつバージョンの答えです。
ひらがなが書かれている玉を、以下のような数で入れる。 「ま」１ 「な」１ 「み」３ 「こ」３ 「と」２ 基本的な考え方。 （後半少し例外がでますが）、三文字違う文字で、賞の名前（女性名です、笑）が揃ったら当たり。 まなみ賞 １等 みなこ賞 ２等 （なみこ・・・でも良いのですが） みこと賞 ３等 ここな賞、みなみ賞 ４等 それ以外はハズレ。 確率の計算。 上記のような１０個の中から、特定の３個の（違う）玉が選ばれる確率は、 以下の式で表せる。 Ｐ＝Ｘ×６／（１０×９×８） ここで、Ｘは、たとえばみことなら、「み」の３、「こ」の３、「と」の２、 というように、それぞれの文字の玉の個数を掛けあわせたものになる。 分子の６は、３個の異なる玉を並べる場合の順列で、 本問の場合、並び順は抽選には使えない条件なので、重複として数える。 Ｘの値は、 まなみ→１×１×３ →確率は１／４０ みなこ→３×１×３ →確率は３／４０ みこと→３×３×２ →確率は６／４０ ４等は少し例外になっていますが、二文字同じ文字を含みます。 そこで、確率を表す式は、 Ｐ＝Ｘ×３／（１０×９×８） となります。 「みなみ」も「ここな」も、確率は同じで、 Ｘ＝６×５×１ 計算すると、それぞれ５／４０となり、 みなみ賞とここな賞を合わせて、 確率は１０／４０ となり、題意を満たします。 （これなら誰でも、ぱっと見た瞬間に当たりかどうか分かりますよね？しかも、二個出た段階で、「○出ろ〜」って盛り上がるのも良いと思います。） （女性の名前って、使える文字が比較的限られますよね？ 「だ」「ご」とか使えないし）
先日、統計検定の試験を受けたのですが、過去問の中に、パーティーの参加人数がポワソン分布に従うと考えられる。参加者の平均は例年の傾向からλで、５％の有意水準で参加者へのプレゼントが足りると言える個数を用意したい、みたいな問題が出ていました・・・
福引きも、ガチで考えるとこうなってしまうのか・・・ あるいは、ボックスガチャや、当たり付きアイスみたいに、箱の中に一定数の当たりが決まって入っている、という方式が良いのか・・・ 実際には、来客者が多ければティッシュ（ハズレ）の玉を後で足して薄めたり、盛り上げるために後半に一等の玉を入れたりと、確率的には公平でないことが行われているんだと思いますが  この問題は楽しめたので、これで良いと思います 追記：知人の子にみことちゃんがいたので、そちらに影響されました 確かにことみの方が普通かも・・・
たっくん４
これは見事です
意図解よりずっと良いかもしれません。判りやすいし盛り上がるでしょうし。 悔しいのでケチをつけると、３等はフツーに２０代ならことみ賞、私の年ならとみこ賞では あと、まみこちゃん・みなとちゃんのファンが怒り出しそう  キムタク工藤静香の長女「ここみ」は外れなわけですね。劇画カイジにも出てきますがたしかにハズレっぽい  実際福引では、大当たりが出尽くさないようにを予めいくつか取り除けておく（後半の方が当たりやすい）のは常識ですし、あの抽選機は実はあまり混ざらないので、上の方にアタリを置いておくのも基本のようです。
まだお考えいただいてる方がおいでで嬉しかったので、意図解への誘導を。
問１：何人もの方が当ててくださってますが、玉６個。 問２：等級の判定には問１を使って、別に５０％確率で当たり外れを判定します。 問３：玉６個。これが会心作なのでどなたかに当てていただきたかったのですが。 二個同じ文字を含むパターンの確率計算が違っていましたm(_'_)m
正しくは以下の通りです。 みなみ（３×１×２）×３ ／（１０×９×８）＝１／４０ ここな（３×２×１）×３ ／（１０×９×８）＝１／４０ ここみ（３×２×３）×３ ／（１０×９×８）＝３／４０ みなと（３×１×２）×６ ／（１０×９×８）＝２／４０ まみこ（３×３×１）×６ ／（１０×９×８）＝３／４０ 合計 １０／４０ というわけで、これらの名前を全部合わせて、 ４等にする、という形が必要になりますね。 みなみ、ここなは意外とレアだったという・・・ ＃タッチのファンだったら、みなみ賞を一等にしたいかもしれません。
上の解答の、４等の確率計算が間違っていたことに気づきまして・・・
・・・にしても、問３は場合の数が足りないんじゃ・・・？ ６個でできる気がしない・・・ 
たっくん４
自分でもYssさんに言われると不安になりますが…６個でできるはずです。
「2」「3」「3」「4」「四等」と書かれた玉と何も書かれていない玉の計6個を入れます。
1回目は無条件に回すことができます。 受け皿の玉に「2」が含まれている場合、2回目を回すことができます。 受け皿の玉に「3」が含まれている場合、3回目を回すことができます。 受け皿の玉に「4」が含まれている場合、4回目を回すことができます。 もちろん、2回目を回さずに3回目を回すなどということはできません。 最終的に受け皿にある玉の状態で次のように等を決定します。 ・玉が4個ある場合、1等 ・玉が3個ある場合、2等 ・玉が2個ある場合、3等 ・玉が1個で「4等」の場合、4等 ・それ以外の場合はハズレ これで、1等1/60、2等1/20、3等1/10、4等1/6、ハズレ2/3となるはずです。
案3で玉6個の場合を考えてみました。
たっくん４
ほにょこさん、最後にお考えいただき、ありがとうございます。頂いた案は当たりが1/3、各等級の確率比は １：３：６：１０になり、題意を満たしてます。 次を引ける玉の名前もうまいです。
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