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レピュニットと証明
難易度:★★★★  
?yard 2018/03/30 22:39
1がn個並んでできた数を、n桁のレピュニットと呼ぶこととします。

(1)pを7以上の素数とするとき、(p-1)桁のレピュニットはpで割り切れることを証明してください。
(2)9個のレピュニットの和で表される平方数は無限に存在することを証明してください。
Answer(1)n桁のレピュニットを、 a_n と表す
a_1=1 a_(n+1)=10*a_n+1 が成り立つことより、数列 a_n の一般項は
a_n=(10^n-1)/9 となる。

(p-1)桁のレピュニット a_(p-1) は、 {10^(p-1)-1}/9 と表せる。
ここで、10とpは互いに素であるから、フェルマーの小定理より
10^(p-1)≡1 (mod p) が成り立つ。 10^(p-1)-1 はpで割り切れる。
9とpは互いに素であるから、{10^(p-1)-1}/9 はpで割り切れる。

従って、(p-1)桁のレピュニットはpで割り切れる。

<補足 フェルマーの小定理(底は10とする)の証明>
(x+y)^p を展開すると、
(x+y)^p = x^p + C[p,1]*x^(p-1)y + C[p,2]*x^(p-2)y^2 + ... + C[p,p-1]*xy^(p-1) + y^p

この式の右辺の項のうち、x^p と y^p 以外の項は全てpで割り切れる。
よって、(x+y)^p ≡ x^p + y^p (mod p)

これより、
10^p
=(1+9)^p
≡1^p + (1+8)^p
≡1^p + 1^p + (1+7)^p
(中略)
≡10*1^p≡10 (mod p)

従って、この両辺をpと互いに素である10で割ることで 10^(p-1)≡1 を示せる。


(2)n個の6と1個の7がその順に並んだ数を数式で表すと、
20(10^n-1)/3+7
=(20*10^n-20+21)/3
=(20*10^n+1)/3

この数の2乗は、
{(20*10^n+1)/3}^2
=(400*10^2n + 40*10^n + 1)/9
=(400*10^2n)/9 + 80*(10^n-1)/9 - 40*(10^n+1)/9 + 1/9 + 80/9
={40*10^n*10^(n+1)}/9 - 40*(10^n+1)/9 + 80*(10^n-1)/9 + 9
=[40*10^n*{10^(n+1)-1}]/9 + 80*(10^n-1)/9 + 9

これは、(n+1)個の4とn個の8と1個の9がその順に並んだ数を表している。
この数は、(2n+2)桁のレピュニット4個 + (n+1)桁のレピュニット4個 + 1 とも表せる。

nの取りうる数は無限個あるから、上の式より9個のレピュニットの和で表される平方数は無限に存在する。
■
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