1.pは10と互いに素
よってフェルマーの小定理より
10^(p-1)-1=9*(p-1桁のレピュニット) はpで割り切れる
pと9は互いに素なので、p-1桁のレピュニットはpで割り切れる

(p-1)桁のレピュニット=(10^(p-1)-1) / 9 である。9とpは互いに素なので、(p-1)桁のレピュニットが　pで割り切れることの必要十分な条件は、10^(p-1)-1　が pで割り切れること。

pの割り算を行って循環小数になる場合、p-1の約数（最大はp-1）回で循環する。
∴ pを法として　10^(p-1) = 10^0 = 1
10^(p-1) -1 は pで割り切れることが分かる。

n桁のレピュニットをR_nとかく

(1)
R_(p-1)は(10^(p-1)-1)/9に等しい。
p≧7より10とpは互いに素だから、フェルマーの小定理より(10^(p-1)-1)はpの倍数。
pは3とも互いに素だから(10^(p-1)-1)/9もpの倍数。Q.E.D.

(2)
　(9R_n+1)^2=10^(2n)=9R_(2n)+1
が成り立つから、変形すると
　81R_n^2+18R_n+1=9R_(2n)+1
　9R_n^2=R_(2n)-2R_n
が分かる。すると
　(6R_n+1)^2
　=36R_n^2+12R_n+1
　=4R_(2n)+4R_n+R_1　←9個のレピュニットの和
よって(6R_n+1)^2は9個のレピュニットの和でかける平方数。nは何でもいいので無限に存在する。Q.E.D

＜手順１＞　
すべての桁の数値が正順（左の桁の数値の方が右の桁の数値と同じか小さい）に並び、かつ、下一桁が９である自然数を考える。　この条件にあてはまる数は、９個のレピュニットの和で表わすことができる。（桁の数値が増えるたびに当該桁のレピュニットをその増分だけ足せばよい。下一桁が９であることで、最終的に全部で９個のレピュニットの和で構成される）

＜手順２＞
Am =　(10^m *2+1)/3 （mは1以上の整数）について考える。
※Amは　下一桁は７、残るm-1桁が６の　m桁の自然数である。　
　　m=4の例：6667
※Am^2は　上m桁が４、下一桁が９、残る中央のm-1桁が８であるような2m桁の自然数である。　
　　m=4の例：44448889
※Am^2は、手順１の条件を満たしている。

＜手順３＞
Am　は無限に存在し、Am^2は９個のレピュニットの和で表わすことができる。

以上。　他にも
Bm =(10^m+11)/3　　B4=3337　とか
Cm =(10^(m+1)+2)/6　　C4=16667　等パターンがあります。

(p-1)桁のレピュニット=(10^(p-1)-1) / 9 。9とpは互いに素なので、(p-1)桁のレピュニットが　pで割り切れることの必要十分な条件は、10^(p-1)-1　が pで割り切れること。

【10とpが互いに素であるpにおいて、】pの割り算を行って循環小数になる場合、p-1の約数（最大p-1）回で循環する。
∴ pを法として　10^(p-1) = 10^0 = 1
10^(p-1) -1 は pで割り切れることが分かる。

(6R_n+1)^2=4*R_2n+4*R_n+1
(3R_n+4)^2=R_2n+2*R_(n+1)+2*R_n+11+3*1

この手の問題は自明な系列を見つけてしまうのが一番簡単
（解の存在が保証されている場合に限る）

(1)
(p-1)桁のレピュニットは10^0+10^1+10^2+...+10^(p-2)である。
p>=7よりpと10は互いに素であるから
フェルマーの小定理より10^(p-1)≡1 (mod p)であり、
また10^0≡1 (mod p)であるから
10^0+10^1+10^2+...+10^(p-2)
≡10^1+10^2+...+10^(p-2)+10^(p-1)
=10(10^0+10^1+10^2+...+10^(p-2))
よって、10^0+10^1+10^2+...+10^(p-2)をpで割った余りをxとすると、
x≡10x ∴9x≡0である。
ここでp>=7であるからpと9は互いに素
よって9x≡0の両辺を9で割ることができx≡0を得る
xはpで割った余りより0<=x<pであるからx=0となる

レピュニットの1の位は1なので、8個の合計の1の位は8になる。
よって平方数は存在しない。

(1)
以下、nを自然数とし、n桁のレピュニットを R(n) = (10^n - 1) / 9 で示す。
10とpは互いに素なので、フェルマーの小定理より 10^(p-1) = 9R(p-1) + 1 ≡ 1 (mod p) となる。
よって 9R(p-1) ≡ 0 (mod p) となるが、9とpも互いに素なので、R(p-1)はpで割り切れる。

(2)
(6R(n) + 1)^2 = 4R(2n) + 4R(n) + R(1) より、9個のレピュニットの和である 4R(2n) + 4R(n) + R(1) は、任意のnにおいて平方数である。よって9個のレピュニットの和で平方数であるものは無限に存在する。
※No.7の返信をヒントに、yardさんの過去の出題を調べたらヒントどころかほぼ答えがあったのでパｋ・・・参考にしました
他にも166...67^2 = 277...788...89も自明なものとしていけそうです。ただ少しだけですが証明が面倒になるので前者を使っています。