[補題] すべての平方数は、20を法として、0,1,4,5,9,16のいずれかと合同である。
[補題証明]
(10n±0)^2 ＝ 100n^2 ≡ 0 (mod 20)
(10n±1)^2 ＝ 100n^2 ± 20n ＋ 1 ≡ 1 (mod 20)
(10n±2)^2 ＝ 100n^2 ± 40n ＋ 4 ≡ 4 (mod 20)
(10n±3)^2 ＝ 100n^2 ± 60n ＋ 9 ≡ 9 (mod 20)
(10n±4)^2 ＝ 100n^2 ± 80n ＋ 16 ≡ 16 (mod 20)
(10n±5)^2 ＝ 100n^2 ± 100n ＋ 25 ≡ 5 (mod 20)

(1)
すべての位の数が2か6である自然数は、20を法として2,6のいずれかと合同であるが
[補題]の対偶より、そのような自然数は平方数にはなり得ない。

(2) すべての位の数が奇数である数の中で、
・1桁の自然数は、1と9が平方数である。
・2桁以上の自然数は、20を法として11,13,15,17,19のいずれかと合同であるが
[補題]の対偶より、そのような自然数は平方数にはなり得ない。

したがって、すべての位の数が奇数であるような平方数は、1と9のみである。

まず、1^2〜10^2が
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100

(1)
1の位に関して、2となるような平方数はないので、
1の位は6となる。その場合、平方根の1の位は6となるので、平方数は
(10N+6)^2=100*(N^2)+120N+36
となる（Nは正の整数）。
10の位の数について考えると、
100*(N^2)の項は100の倍数となり無関係で、
残りの120N+36から、2N+3の1の位が、平方数の10の位になる。
2N+3は常に奇数となるため、
どのようなNを取っても10の位を2か6にはできない。

∴すべての位の数が2か6であるような平方数は存在しない。

平方数を4で割った余りは0か1である。
4で割った余りは下2桁をみればわかるので、平方数の下2桁を4で割ったあまりも0か1である。
(1)
各桁が2と6だけである2桁以上の数について、下2桁を4で割った余りは
(2or6)*10+(2or6)≡2(mod 4)
である。よって平方数でない。
1桁のものでも平方数は存在しないから、これで証明できた。

(2)
mod 10で考えると、奇数の平方数の1の位は1,5,9のいずれか。
(十の位)*10+(1or5or9)
を4で割った余りが1にならなければいけないので,十の位は偶数でなければダメ。
よって、各桁が奇数だけの2桁以上の平方数が存在しない。
1桁のものは1と9のみ。

(1)そのような平方数が存在したとして矛盾を導く。
その平方数をA^2とする。
mod10で考えると、
1^2≡9^2≡1,2^2≡8^2≡4,3^2≡7^2≡9,4^2≡6^2≡6,5^2≡5であるから、
Aの一の位は4または6である。
mod100で考えると、
Aの十の位がどのような数であってもA^2の下2桁を26または66にすることはできない。
よって、このようなAは存在しない。

(2) (1)と同様、与えられた条件を満たす平方数をB^2とする。
1の位を考えると、明らかにBは奇数である。
B^2が1桁の時はB=1,3なので、B^2が2桁以上の時を考える。
B=10a+b(a,bは整数,0<=b<=9)とすると、B^2=100a^2+20ab+b^2であり、
100a^2+20abは20の倍数であるからB^2の十の位の偶奇はb^2で決まる。
Bは奇数よりbは奇数であるから、
1^2=1,3^2=9,5^2=25,7^2=49,9^2=81よりb^2の十の位は全て偶数である。
よってB^2の十の位は必ず偶数なので、(2桁以上の)B^2の全ての桁を奇数にすることはできない。
よって、条件を満たすB^2は1,9のみである。

(2)
1の位をBとする任意の自然数を根とする平方数は
(10A+B)^2=100A^2+20AB+B^2
※AとBは整数で、A+B>0,A>=0,9>=B>=0


すべて奇数であるために、まず1の位が奇数である必要がある。
平方数の1の位を奇数とするためには、
B^2の1の位が奇数である必要があり、そのためにBが奇数である必要がある。
（Bが偶数2nの場合、B^2=4n^2で偶数となってしまう）
B=1,3,5,7,9
B^2=1,9,25,49,81

10の位について考える。
100A^2の項は10の位に無関係
20ABの項では10の位は偶数にしかならない。
B^2の項については、
B=1,3,5,7,9の場合でそれぞれ
1=1
9=9
25=20+5
49=40+9
81=80+1
であり、B=1,3の場合にのみ0
それ以外では0でない偶数となる。
B=1,3の場合はA=0の時に
平方数が1,9となり、（10の位が存在せず）すべての桁が奇数となるが、
それ以外の場合には10の位が偶数となり、すべての桁を奇数にはできない。

よって、全ての桁が奇数となるような平方数は1,9のみ

333333…333334^2
を考えるとこれは
1111…1111555…5556
になる。

全ての平方数は、４で割った場合の余り＜Mod(4)＞が０か１になる。
(1)下二桁が２，２２，６，６６のいずれもMod(4)=２　∴平方数は存在しない
(2)奇数一桁の平方数は１と９のみ。下二桁が１１，３３，５５，７７、９９のいずれもMod(4)=３．∴奇数を２個以上重ねた平方数は存在しない。

(2)　奇数の平方数が満たすべき条件として、Mod(4)=1 かつ Mod(10)=1or5or9。これを同時に満たそうとすると、下から２ケタ目は偶数（ゼロを含む）。　∴すべての位の数が奇数である平方数が存在するとしたら一桁でしかありえない。