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平方数が無い証明
難易度:★★  
?yard 2017/12/15 22:16
(1)すべての位の数が2か6であるような平方数は存在しないことを証明してください。
(2)すべての位の数が奇数であるような平方数は1と9以外に存在しないことを証明してください。
Answer(1)
下2桁の取りうる値は、22,26,62,66
このいずれも、4で割り切れない偶数である。
つまり、すべての位の数が2か6である数はいずれも2という素因数を
1個(奇数個)持つことになり、これが平方数にはなり得ない。

(2)
下1桁が 偶数,1,3,5,7,9 の場合で場合分けして考える。

・偶数の2乗
一の位に偶数を持つ。

・一の位が1か9の数の2乗
元の数を 10n±1 とおく。( nは整数で、10n±1>0 )
(10n±1)^2=100n^2±20n+1 である。
nは整数だから、2nの一の位は偶数である。故に、20nの十の位は偶数である。
また、100^2+1 の十の位は0である。
これより、(10n+1)^2 は十の位に偶数を持つ。

・一の位が3か7の数の2乗
元の数を 10n±3 とおく。(nは整数で、10n±3>0)
(10n±3)^2=100n^2±60n+9 である。
nは整数だから、6nの一の位は偶数である。故に、60nの十の位は偶数である。
また、100^2+9 の十の位は0である。
これより、(10n+3)^2 は十の位に偶数を持つ。

・一の位が5の数の2乗
元の数を 10n+5 とおく。(nは非負整数)
(10n+5)^2=100n^2+100n+25 である。
nは整数だから、nの値にかかわらず (10n+5)^2 の十の位は2である。

これより、全ての平方数はその一の位か十の位に偶数を持つ。
よって、1桁で奇数の平方数である1と9を除き、すべての位の数が
奇数であるような平方数は存在しない。
■
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