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周の長さが1の直角三角形の最大面積
難易度:  
?具無しのとんぺい 2017/08/18 01:30
初投稿です。よろしくお願いします。
数学の問題です。出題済みだったらすみません...。

周の長さが1の直角三角形の最大面積を求めてください。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

ヒント: >>3より、
”(自分の解答に関して)ヒントを挙げるならば、
・まず、3辺をa,b,c(cは斜辺)とおきます。
・面積S(=ab/2)を求めます。
・最後に、Sの最大値を求めます。(ここで数IIの知識を使います)

という流れです。”(2017.8.26追記)

ヒントA(2017.8.26)
使用した数IIの知識は「三角関数」です。

(追記)
幾何的な解法を答えに追加しましたが、意外とけっこう骨折りでした...。もっと楽な幾何的解法ないかな... (^^;)(笑) (2017.8.26)
→解答欄が長くなりすぎるので、一番下の囁き欄に記載しています。 >>6

================================
(2017.8.25)
出題から1週間がたちましたが、人足も減ってきたようなのでそろそろ解答公開日について考えようかなって感じです。
この問題に限らず、基本的には出題から3週間くらいを目途に解答公開していこうかなって感じです。(1か月は自分が我慢できません!(笑))
そしてその1週間後(出題から1か月後)にロックって感じがいいですかね。

ということで、2週間後の9月8日あたりに解答公開します!

ちょっと早いですが、解答公開します!(2017.9.5)

ロックしました!(2017.9.12)
Answer最大面積: (3-2√2)/4
直角二等辺三角形の時に面積最大となります。

解答例@
・直角三角形の3辺の長さをa,b,c(cは斜辺)とします。
a^2 + b^2 = c^2
a + b + c = 1
から、
面積S = ab/2 = (1-2c)/4
を得ます。

・次にcの最小値を求めます。
鋭角の1つをθ(0°<θ<90°)とおくと、3辺の長さはc,csinθ,ccosθとなるので、
c + csinθ + ccosθ = 1 より、
c = 1/(1 + sinθ + cosθ)
= 1/{1 + √2sin(θ+45°)} (∵三角関数の合成)
よって、θ = 45°のとき、cは最小値1/(1+√2)をとるので、このとき、直角三角形は
最大面積(3-2√2)/4
をとります。


解答例A
斜辺cと鋭角θだけをおいてから、周の長さ1の条件でcを除去し、面積Sをθで表して微分で極大値を算出。
というオーソドックスな方法でも求められます。
ただし、このままでは計算が煩雑になるので、Sをθで表した後、
θ= 45°+α (-45°<α< 45°)とおいてαで表しなおすと微分計算が非常に楽になります。
(この置き換えを思いつくには答えが直角二等辺三角形になるという予想がたっていないと難しいかもしれないです。)

これにより、最終的に
S = (√2 * cosα - 1)/4(√2 * cosα + 1)
まで式を簡単にでき、微分計算の結果、α= 0°(つまりθ= 45°)で面積最大となることが分かります(計算略)。


他の解答例に関してはスレ参照。
■
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