見落としがなければこれではないかと。。

b,cの条件は何となく見えましたが、そこから先は力づくで解いたので
解法が説明できません。。

予言は予想できましたが、なかなかの難問ですね。

予言の内容のみ公開します。

「あなたが選んだカードだけ裏表が異なる状態になっています」

選んだカードだけ表で他の3枚が裏、
もしくは選んだカードだけが裏で他の3枚が表
ということです。



回答はまだまだ受け付けております。

ヒントです。

一番上のカードを下に回すという操作をSとします。
カードをひっくり返す操作に次のように名前をつけます。
A.上からa枚目のカードのみをひっくり返す
B.上のb枚のカードをひっくり返す
C.上のc枚のカードをひっくり返す
D.上のb枚のカードをひっくり返し、
　上のd枚のカードをひっくり返し、
　上のc枚のカードをひっくり返し、
　上のa枚のカードをひっくり返す

このマジックでは、A,B,C,Dの操作の間には任意の回数のSが入ります。

Aの操作でひっくり返るカードの枚数は1枚、Dの操作ではのべ(a+b+c+d)枚ですので、
B,Cの操作でひっくり返るカードの枚数(b+c)の偶奇が分かります。

Aの操作後、3枚のカードは裏向き、1枚だけが表向きになります。
Bの操作においてb=1だった場合、表向きの1枚をひっくり返すことになる可能性があります。
すると4枚すべてが裏向きとなります。
この状態から覚えられたカードだけ向きが違う状態にするのは不可能です。
仮にうまくいったとしましょう。
このときのBとCの間の操作Sの回数を1回だけ増やしてもうまくいかなくてはいけませんが、
Cの操作をする時点で覚えられたカードの位置が変わっています。
C以降の操作は前回と全く同じなので別のカードの向きが変わることになり、うまくいきません。
従って、bは1ではないことが分かります。

参加者は増えないみたいですので答えを発表します。

(a,b,c,d)=(3,4,2,1)です。

なぜこれでうまくいくのかは考えてみてください。