こんなわけないと思いつつ回答してしまうのであります。

「月と日の積を教えたら誕生日が分かっちゃうよ」
↑に当てはまるのが…

この日でしょうか？

表をかいてしらみつぶしに

一つに特定できませんが、解答します 。

違ってたか・・・例によってなんか勘違いがあるようですね

数学的に考えるのは苦手なので、
紙に書いてしらみつぶしに考えました 。
＃　あっ、見落としがありました 。

うーん、決め手が…

では再挑戦 。

でいかがでしょうか？

一箇所見落としがありましたので、再度。↓一箇所どころか、もっと見落としていました。

あと1手足りない…。

そうか。この手があった。

教えたら分かるかどうかを含めて教えられません

なかなか難しい。

訂正です。

これでどうでしょうか。

再々挑戦です。

ひょっとして・・・。↓ありがとうございました。簡明にして良くできた問題です 。よく思いついたものと感心します 。二番目の解答は見落としが多かったが故の余計な回り道でした 。

こうでしょうか？

＞前半の絞込みが甘ーい
ほぼしらみつぶしで抜けに気が付きましたが・・・たしかに甘かったです

でもあの誤回答も丸っきりの無駄ではなかったのかも？
（というか、あの誤答の仕方は”ある意味で ”凄いかも）

表を書いて絞り込みました。
が、どうでしょうか。

再々々挑戦です。こんどこそ。

途中経過を置いておく。

出遅れました．

有名人？

そんな偶然あってたまるか

長くなってしまいました．

答えを発表します。

月と日の積が一致する日付が他にない日付を単独日ということにします。
日付が同じ単独日が存在しない単独日を候補日ということにします。
m月d日が候補日となるのはどういうときか考えてみましょう。
1月1日は明らかに単独日です。
m≠1の場合、m月1日と1月m日は積が同じですので単独日ではありません。
よって、1月1日は候補日です。

m=11の場合
積mdが素因数11を2回以上含んでいると、
m,dどちらも11を2回以上含むことはできませんので、
m,dのそれぞれが因数11を1個ずつ持ちます。
するとm=11と確定しますのでm月d日は単独日です。
11月の11日、22日は単独日です。
これ以外に単独日はどの日でしょうか。
11月d日と積が等しい日付が存在するとすると、
月と日のどちらかが11で割り切れないといけないことから、
1月(11d)日、d月11日、(d/2)月22日のどれかです。
1月(11d)日が存在しないことから、d≧3
d月11日が存在しないことから、d≧13
(d/2)月22日が存在しないことから、dは奇数またはd≧25
従って11月の単独日はd=11,13,15,17,19,21,22,23,25,26,27,28,29,30



m=7の場合
11の場合と同様に考えると、7月7日、14日、21日、28日は単独日と分かります。
7月d日と積が同じになる日付は、
1月(7d)日、d月7日、(d/2)月14日、(d/3)月21日、(d/4)月28日
のどれかです。
dが12以上で2でも3で割り切れなければ単独日です。
また、dが25以上で3でも4でも割り切れなければ単独日です。
それ以外の日は単独日にはなりません。
よって7月の単独日はd=7,13,14,17,19,21,23,25,26,28,29,31

7月と11月の両方で単独日になる日は候補日ではありません。
d=13,17,19,21,23の場合は候補日はありません。




2≦d≦12の場合
m≠dであれば、m月d日とd月m日は異なる日で積が一致しますので単独日ではありません。
m=dです。
7月7日、11月11日は単独日ですので候補日です。
m=d、mは偶数であれば、(m/2)月(2m)日は存在する日付であり、
m月d日と積が一致することから、m月d日は単独日ではありません。
3*3=1*9,5*5=1*25,9*9=3*27ですので、m=3,5,9の場合は候補日はありません。




dが24以下の偶数の場合
任意のmについて、(d/2)月(2m)日と積が一致します。
この日付がm月d日と一致するのは、2m=dのときのみ。
7月14日は単独日ですので候補日。
8月16日も単独日ですので候補日。
9月18日は6月27日と一致するので不適。
10月20日は8月25日と一致するので不適。
11月22日は単独日ですので候補日。
12月24日も単独日ですので候補日です。

d≧25の場合
12月d日と積が同じ日付があったとします。
12*26=312>31*10
ですので、月は10より大きく、11月と確定します。
当然、日は25より大きいはずですが、11月の25日以降はすべて単独日ですので
積が一致することはありません。
よって12月の25日以降もすべて単独日であり、25≦d≦30の場合は候補日にはなりません。
7月31日は単独日ですので、d=31の場合も候補日にはなりません。



残るはd=15の場合だけです。
m≦10,m≠5であれば、5月(3m)日と積が一致します。
m=5であれば、3月25日と積が一致します。
m=12であれば、6月30日と積が一致します。
11月15日のみが単独日ですので、11月15日は候補日です。

以上より、候補日は、
1月1日
7月7日
7月14日
8月16日
11月11日
11月15日
11月22日
12月24日
の8個です。

この8個の日付が同じ年のときに、1月1日から見て何日目かを調べて見ます。
1月1日は1日目とします。
平年の場合は、1月、2月、3月、4月、5月、6月の日数がそれぞれ、31,28,31,30,31,30ですので、
7月7日は、31+28+31+30+31+30+7=188日目と計算できます。
8個の日付は経過日数が1,188,195,228,315,319,326,358です。
これを7で割った余りは、1,6,6,4,0,4,4,1となります。
これが曜日に対応します。
同じ数であれば同じ曜日、異なる数であれば異なる曜日です。
11月11日以外は同じ曜日となる日が他にありますので、
曜日が分かっても誕生日を特定することはできません。

うるう年の場合、先程と同じように計算してみると、
7で割った余りは、1,0,0,5,1,5,5,2となります。
この場合、12月24日以外は同じ曜日となる日が他にあります。

平年の場合は花子さんの誕生日は11月11日、
うるう年の場合は12月24日でないと曜日から日付を特定することはできません。

花子さんは曜日を教えなくても分かると言っていますので、
健太君は平年かうるう年かが分かるはずだということです。
太郎君の誕生日が2月29日以外の場合はどちらなのか判断できませんので、
太郎君の誕生日は2月29日であったと考えるしかありません。
よって、花子さんの生まれた年はうるう年であり、誕生日は12月24日です。

第一印象と比較してタフな問題でした。特に候補日を全て洗い出すのが難しかったです。その分、正解にたどりついた時に達成感がありました。おもしろい問題をありがとうございます。
1月1日、7月7日、11月11日はすぐに候補日だと解りました。大きい素数が積に2つ入っている7月14日と11月22日と、積が大きい割に2しか素数が無い8月16日も候補日なのは解りました。
しかし、11月15日と12月24日は、結局、力技でしらみ潰ししないと見つけられませんでした。24日なんて、約数が多すぎて候補日にならなそうですが、12月と組み合わせると積が大きすぎて単独日になるし、同じく大きい数字の月の9月、10月、11月は12月に同じ積の日があって単独日にならないのですね。
うるう年のひねりも面白かったです。