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附属小学校抽選外題:時間短縮案
難易度:★★★  
?たっくん4 2016/03/07 15:10
 過去シリーズの附属校抽選話から微妙に外れますが、関連した算数の出題。
附属小学校受験で、競争率が非常に高い場合、学力試験を受けるための抽選が一番最初にある学校があります。かくいう私も50年近く前に、抽選機(ガラガラ)をまわして白玉(ハズレ)を引いた経験があります。

 某校の入試に、今年はちょうど1000人が出願しました。うち、学力試験を受けることができるのは200人。抽選機には、当たりの赤玉が200個、ハズレの白玉が800個、ランダムに攪拌された状態で入っています。

 昨年までは受験者全員が抽選機をまわしたのですが、1000人近い受験生全員が抽選を終えるのに大変な時間がかかりました。
 そこで今年は「どちらかの玉が出尽くした時点で終了、残りの受験者は自動的に決定」というルールにしました。赤玉が200個出尽くしたら、残りは全部白玉なので、抽選してない受験者全員が不合格決定、ということです。逆に、白玉が800個出尽くした場合も終了です。

問: さて、この「改革」によって、抽選機をまわす人数は、平均として(期待値として)何人になるでしょうか?

1:概算解=整数単位
私の出題の例によって、答えは概算計算で結構です。というか、「整数単位でOK」のユルイ近似値計算の方法をいろいろ考えていただくのが問題の趣旨です。

2:厳密解 
抽選機をまわす人数の期待値は、実は概算ではなく、単純な四則演算の数式で表すことも可能です。ずばりの数式と、その導き方を示してください。

 ・解を整数(小数点以下四捨五入)(例:987)、
 ・解を小数点以下4桁(5位で四捨五入)(例:3.1416)
 ・赤玉が残る場合の期待値を示す数式 
 ・白玉が残る場合の期待値を示す数式
それぞれ半角で囁いていただければ、かってに君が反応します。

ヒント投入しました >>15 (2016/3/12 17:00)
Answer最後に同じ色の玉ばかりが残る個数・・・と捉えると難しそうだが、順番を入れ替えて、
最初から同じ色の玉が連続して出る個数・・・としても解は同じ。

<近似解>
答: 996人。抽選しない受験者は約4人。

玉の数は十分に多いので、玉が出る確率が一定として解いても大きな誤差はなさそう。
赤玉が出る確率が一定で確率pであるとして、
最初が赤玉で、赤玉が最初からn個出続ける確率は
 p^n*(1-p)
その個数の期待値は nΣp^n*(1-p) = p/(1-p)
同様に白玉が出続ける期待値は (1-p)/p
同じ色の玉が最初からn個出続ける確率は 上記の和。
pに0.2を代入すると = 4.25

実際には出る確率は一定ではなく、前に出た色は連続して出ずらくなるので、
求める解は4.25より微妙に小さいはず、だが、整数値としては4でOKであろう。

<厳密解>
答: 995.77人 式は 1000- (200/801 + 800/201)

赤玉が残る場合、白玉が残る場合、それぞれいくつ残るかの確率を計算して合計し、1000から引けばOK。
しかし・・・たっくん4にはこんな難しい無限級数を解けないので、発想を転換。

ある1つの玉に着目する。その玉が残る確率は,
(1)赤玉の場合,他のどの白玉よりも後になれば取り出されれば良いから,1/801 。
(2)白玉の場合,他のどの赤玉よりも後になれば取り出されれば良いから,1/201 。
期待値の加法性により,問題の答えは全部の玉それぞれが残る期待値を加えればよいから,
200/801 + 800/201 = 4.2298・・・ 
正解画像整数単位で正解! 996
正解画像厳密解! 995.7702
正解画像赤玉が残る場合の期待値 200/801
正解画像白玉が残る場合の期待値 800/201
■
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