過去シリーズの附属校抽選話から微妙に外れますが、関連した算数の出題。
附属小学校受験で、競争率が非常に高い場合、学力試験を受けるための抽選が一番最初にある学校があります。かくいう私も５０年近く前に、抽選機（ガラガラ）をまわして白玉（ハズレ）を引いた経験があります。

　某校の入試に、今年はちょうど１０００人が出願しました。うち、学力試験を受けることができるのは２００人。抽選機には、当たりの赤玉が２００個、ハズレの白玉が８００個、ランダムに攪拌された状態で入っています。

　昨年までは受験者全員が抽選機をまわしたのですが、1000人近い受験生全員が抽選を終えるのに大変な時間がかかりました。
　そこで今年は「どちらかの玉が出尽くした時点で終了、残りの受験者は自動的に決定」というルールにしました。赤玉が２００個出尽くしたら、残りは全部白玉なので、抽選してない受験者全員が不合格決定、ということです。逆に、白玉が８００個出尽くした場合も終了です。

問：　さて、この「改革」によって、抽選機をまわす人数は、平均として（期待値として）何人になるでしょうか？

１：概算解＝整数単位
私の出題の例によって、答えは概算計算で結構です。というか、「整数単位でＯＫ」のユルイ近似値計算の方法をいろいろ考えていただくのが問題の趣旨です。

２：厳密解　
抽選機をまわす人数の期待値は、実は概算ではなく、単純な四則演算の数式で表すことも可能です。ずばりの数式と、その導き方を示してください。

　・解を整数（小数点以下四捨五入）（例：987）、
　・解を小数点以下４桁（５位で四捨五入）（例：3.1416）
　・赤玉が残る場合の期待値を示す数式　
　・白玉が残る場合の期待値を示す数式
それぞれ半角で囁いていただければ、かってに君が反応します。

ヒント投入しました　>>15　（2016/3/12 17:00）