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標準偏差の和
難易度:★★★★  
?length 2015/11/03 22:16
実数X1,X2,…,Xnの標準偏差をσ(X1,X2,…,Xn)とします。
(1)σ(a+1,b,c)+σ(a,b+1,c)≧σ(a,b,c+1)を証明してください。
(2)(1)で、等号が成立するa≠b≠cを一組あげてください。
Answer(1)σ(a+1,b,c)=√((((a+b+c+1)/3-(a+1))^2+((a+b+c+1)/3-b)^2+((a+b+c+1)/3-c)^2)/3)
=√((((-2a+b+c)/3-2/3)^2+((a-2b+c)/3+1/3)^2+((a+b-2c)/3+1/3)^2)/3)
ここで、A=(-2a+b+c)/3,B=(a-2b+c)/3,C=(a+b-2c)/3とすると、
σ(a+1,b,c)は、2点(A,B,C)と(2/3,-1/3,-1/3)との距離から√3を割ったものになる。
同様に、σ(a,b+1,c)は((A,B,C)と(-1/3,2/3,-1/3)との距離)/√3,
σ(a,b,c+1)は((A,B,C)と(-1/3,-1/3,2/3)との距離)/√3となる。
また、A+B+C=0,2/3-1/3-1/3=0なので、
この問題は、「正三角形ABCがある。同一平面上に点Pを打ったとき、AP+BP≧CPを示せ。」
という問題と同値である。
((2/3,-1/3,-1/3)が点A,(-1/3,2/3,-1/3)が点B,(-1/3,-1/3,2/3)が点C,(A,B,C)が点Pにあたる)
以下、証明
AP≧CPまたはBP≧CPのとき自明。
AP,BP≦CPのとき、CP=CP'=PP',AP'<BP'となるP’を打つ。
BC=AC,CP=CP',∠ACP=60-∠PCB=∠BCP'なので、△BCP≡△ACP'となる。
BP=AP',CP=PP'であり、三角不等式からAP+AP'≧PP'なので、AP+BP≧CPが成り立つ。

(2)AP+BP=CPが成り立つとき、∠CAP+∠CAP'=∠CAP+∠CBP=180が成り立つ。
つまり、△ABCの外接円上の弧AB上に点Pを打つと等号が成立する。
よって、A,B,Cは
A+B+C=0
A^2+B^2+C^2=2/3(-1/3≦A≦2/3,-1/3≦B≦2/3,C≦-1/3)で等号が成立する。
B=0とすると、
A=√3/3,C=-√3/3となる。
さらに、a=0とすると、
b=√3/3,c=2√3/3となるので、
(a,b,c)=(0,√3/3,2√3/3)があげられる。
■
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