X_iは確率変数と思っていいですか？また、それらはiid(iindependent identically distributed)と思えばいいですか？<br>質問ばかりですみません

p=(a+b+c+1)/3とする。
三次元空間の点　A(a+1,b,c),B(a,b+1,c),C(a,b,c+1),P(p,p,p)を考えると、
AP=√3*σ(a+1,b,c)、BP=√3*σ(a,b+1,c)、CP=√3*σ(a,b,c+1)
なので、AP+BP≧CPを示せばよい。

P(p,p,p)をP'(p-a,p-b,p-c)に移す平行移動により、
点A,B,Cはそれぞれ(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)に移る。
この3点は明らかに正三角形を成し、
この3点を含む平面の方程式はx+y+z=1
(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-(a+b+c)=1なので、P'もこの平面上の点である。
よって、A,B,Cは正三角形を成し、PはA,B,Cを含む平面上の点である。
同一平面上に正三角形ABCと点Pがあったときに、
常にAP+BP≧CPであれば最初の不等式も成立する。

△APBを点Cを中心にして60度回転させたものを△A'QB'とすると、
A'=Bであり、AP=A'Q=BQなので、
AP+BP=BQ+BP
三角不等式により、BQ+BP≧PQ
また、CP=CQで∠PCQ=60度なので、△PCQは正三角形。
よってCP=PQ≦BQ+BP=AP+BP
Q.E.D.

等号が成立するのは線分PQ上にBがあるとき。
例えば(a,b,c)=(1/7,4/7,9/7)であれば等号が成立する。

a=s+A, b=s+B, c=s-A-B-1 と置く　ただし、s=a,b,c+1　の平均

分散の定義から
σ(a+1,b,c)^ 2 *3 = (A+1)^2 + B^2 + (A+B+1)^2
σ(a,b+1,c)^ 2 *3 =A^2 + (B+1)^2 + (A+B+1)^2
σ(a,b,c+1)^ 2 *3 =A^2 + B^2 + (A+B)^2

ここで、
３次元上の点Ｏ（0, 0, 0）
点Ｐ 1/√3 *（-B, A, A+B）
点Ｑ 1/√3 *（A+1 ,A+B+1 ,B）
の３点を考えると、
σ(a+1,b,c) = 距離ＯＱ
σ(a,b+1,c) = 距離ＰＱ
σ(a,b,c+1) = 距離ＯＰ に等しい。

３つの点の距離は他の２辺の距離の和を上回らないことから、、
　σ(a+1,b,c) + σ(a,b+1,c)≧σ(a,b,c+1)
がどんな場合も成り立つことが証明された。

　同じ形の結論（今回の場合　３つのうち２つの和＞残りひとつ）になる定理を知っていたら、無理やり当てはめてみる、というのは、私の大学受験テクニック（自分＋家庭教師）のひとつです。
　ところでこの問題、0.55,0.05,-1.60位のところに解があることを経験的に知ってるのに解けない･･･なんて頭が悪い

p=(a+b+c+1)/3
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),P(p-a,p-b,p-c)
とすると、A,B,C,Pは同一平面上にある。
あの不等式の等号が成立するのは、
線分CPと線分ABが交点を持ち、∠CPB=60度のとき。
∠CAB=60度なので、△ABCの外接円上に点Pがある。
この円はA,B,Cを含む平面x+y+z=1と球面x^2+y^2+z^2=1の共通部分。

CPとABの交点をDとする。
この点を例えば線分ABを1:2に分割する点とすると、座標はD(1/3,2/3,0)
C,Dを通る直線上の点は媒介変数tを使って、(t/3,2t/3,1-t)と書ける。
球の方程式にこの座標を代入すると、
(t/3)^2+(2t/3)^2+(1-t)^2=1
t(7t-9)=0
Pではt≠0なのでt=9/7であり、P(3/7,6/7,-2/7)

p-a=3/7,p-b=6/7,p-c=-2/7より、
b=a-3/7
c=a+5/7
a=4/7とすれば、b=1/7,c=9/7
Dの座標とaの値を有理数にすれば必ず有理数解が得られます。

No.3の３点が一直線上に並ぶ場合、
最大値＝他の2つの数値の和になる。
３点が一直線上に並ぶための必要条件は
　a^2+ b^2 + ab + a + b =0

例１：(a-b)=0.5　 を追加の成約条件として解くと
　 a = ( √13 - 1) / 12
　 b = ( √13 - 7) / 12
　 c = (-2√13- 4) / 12
　和 = -1、

例２：　a=0.2 を代入して解くと
　 a = 0.2
　 b = -0.6 + √12
　 c = -0.6 - √12
　和 = -1、ただし　ｑ=√13

上記はいずれも題意を満たす

例２：　
　 a = 0.2
　 b = -0.6 + √0.12
　 c = -0.6 - √0.12

例２が題意を満たすことの計算
a+1 = 1.2
b = -0.6 + √0.12
c = -0.6 - √0.12
分散（a+1)　=　2.4　/　3
標準偏差（a+1)　= √0.8 = 0.4√5

a = 0.2
b+1 = 0.4 + √0.12
c = -0.6 - √0.12
分散（b+1)　=　 0.2*（4 +2√3） /3
標準偏差（b+1)　= (3√5+√15)　/15

a = 0.2
b = -0.6 + √0.12
c+1 = 0.4 - √0.12
分散（c+1)　=　 0.2*（4 -2√3） /3
標準偏差（c+1)　=(3√5-√15)　/15

標準偏差（b+1)+標準偏差（c+1)　= 6√5/15　= 0.4√5 = 標準偏差（a+1)