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エラトステネス分銅店
難易度:★★  
?s_hskz 2015/10/10 13:43
 
あなたは現代のクィリシア国の住人です。先日まで薬の行商人でしたが、そろそろひとところに落ち着いて、市場の隅っこにでも、こじんまりとした店を構えようと思っています。そこで中古の上皿天秤を買ったのですが……

この国の技術文化は特殊でして、上皿天秤の左右の皿には分銅を最大1個づつしか乗せられない仕掛けとなっています。(分銅をのせなくとも構いません。)

以下の説明ではクィリシア国独特の重さの単位であるギロムの表記をgとします。

たとえば、3gの分銅を左の皿に、2gの分銅と薬を右の皿に乗せて適宜、薬の量のさじ加減を行い釣り合うことを確認できたときに、その薬は1gであることがわかります。

また、5gの分銅を左の皿に、薬を右の皿に乗せて適宜薬の量のさじ加減を行い釣り合うことを確認できたときに、その薬は5gであることがわかります。

さて、あなたは買い求めた中古の天秤のオマケとしてついてきた32gの分銅を1個、既にもっています。1gから32gまで1gきざみの重さの全てで薬をはかれるようにすることを望んでいます。そのためには他の重さの分銅がなければいけません。

そこであなたが赤字続きで閉店間近のエラトステネス分銅店に顔を出したところ、以下の分銅が1個づつ売られていました。残りは全て売り切れていて在庫もないのです。


■売り出し中の分銅( 単位 g )

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

の11種類が1個ずつ。


予算の都合であなたはこのなかから8個の分銅を買い求めることにしました。

天秤を1回使うことにより、1gから32gまで1gきざみの重さの全ての場合で、薬をはかれるように、分銅を選んでください。

(例えば、薬を1g分、あらかじめはかっておいて、これを分銅替わりにして次の天秤による計量に使い回すことは反則とします。)

Answer 
■回答

2 3 7 13 17 23 29 31

の8個の分銅を買います。


■ごくかんたんに解説

分銅1個そのままの重さ、あるいは、分銅2個の重さの差で薬をはかりだすのでした。このとき、購入必須の分銅をみつけだすには、はかるべき1gから32gまでのうち、重いほうから先に考えていくほうが楽です。

32 は元々所有していました。

31 は明らかに必須です。

30 は、32-2のみが可能なので 2 が必須となります。

29 は、32-3 ではかるか 29 を単体で使うか迷うところです。⇒いったん保留します。

28 は、31-3 でしかはかれません。従って 3 が必須です。

27 は、32-5 または 29-2 でしかはかれません。⇒いったん保留します。


===
ここまでで必須分銅は以下の通りです。購入予定の8個のうち3個が必須として浮かんできています。

2 3 31 32

===

26 は 31-5 または 29-3 ⇒ いったん保留します。

25 は 32-7 としてはかるほかなく、7が必須となりました。

===
ここまでで必須分銅は以下の通りです。購入予定の8個のうち4個が必須として浮かんできています。

2 3 7 31 32

===

24 31-7 でオーケー。

23 23 に 2 3 7 のどの分銅を加えても確定済みの必須分銅の重さになりません。従って23は単独の分銅ではかるしかなく、必須です。

===
ここまでで必須分銅は以下の通りです。5個みつかりました。

2 3 7 23 31 32

===

22 29-7 ではかるしかなく、29は必須です。

===
ここまでで必須分銅は以下の通りです。6個みつかりました。

2 3 7 23 29 31 32

===

ここで保留していな内容を再考します。

29 必須

27 29-2 で解決

26 29-3 で解決

保留していた件は解決済みとなりました。

21 23-2

20 23-3

19 19 を必須とみるか 32-13 として13を必須とするのがよいのか…保留しておきましょう。

18 29-11 ではかるか 31-13 ではかるか保留します。

17 19-2 か 17 か保留します。

16 23-7

15 32-17 17-2 のどちらかしかありません。17が必須となりました。

===
ここまでで必須分銅は以下の通りです。7個みつかりました。

2 3 7 17 23 29 31 32

===

14 17-3

13 13 または 32-19 保留

12 29-17

11 11 または 13-2 で保留

10 17-7

9 32-23

8 31-23

7 確定

6 23-17

5 7-2

4 7-3

3

2

1 3-2

保留していた件を以下におさらいします。

===
19 19 を必須とみるか 32-13 として13を必須とするか。

18 11を必須とみて 29-11 か 13を必須とみて 31-13 か。

13 13 を必須とするか 19を必須として 32-19 とするか

11 13を必須として13-2とみるか11を必須とするか。
ここで、13を採用しない場合には11と19とをともに必須とするしかなく、13を必須とすれば11と19とを不要とみなせることがわかります。

前者のケースは、No.1のエピソードで分銅店の店主が勧めてきたセットです。

後者のケースは、この出題の解となっています。


■この問題の出典
この問題は《素数ものさし》から題材を頂きました。《素数ものさし》は売られていますので調べてみてください。素敵で、欲しくなります。

また、《素数ものさし》については以下の論文で全容がわかります。

Complete List of Prime Number Rulers

http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/papers/pdf/pnr.pdf
■
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