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エラトステネス分銅店

難易度：★★ 　

s_hskz 2015/10/10 13:43

　
あなたは現代のクィリシア国の住人です。先日まで薬の行商人でしたが、そろそろひとところに落ち着いて、市場の隅っこにでも、こじんまりとした店を構えようと思っています。そこで中古の上皿天秤を買ったのですが……

この国の技術文化は特殊でして、上皿天秤の左右の皿には分銅を最大１個づつしか乗せられない仕掛けとなっています。（分銅をのせなくとも構いません。）

以下の説明ではクィリシア国独特の重さの単位であるギロムの表記をgとします。

たとえば、3gの分銅を左の皿に、2gの分銅と薬を右の皿に乗せて適宜、薬の量のさじ加減を行い釣り合うことを確認できたときに、その薬は1gであることがわかります。

また、5gの分銅を左の皿に、薬を右の皿に乗せて適宜薬の量のさじ加減を行い釣り合うことを確認できたときに、その薬は5gであることがわかります。

さて、あなたは買い求めた中古の天秤のオマケとしてついてきた32gの分銅を1個、既にもっています。1gから32gまで1gきざみの重さの全てで薬をはかれるようにすることを望んでいます。そのためには他の重さの分銅がなければいけません。

そこであなたが赤字続きで閉店間近のエラトステネス分銅店に顔を出したところ、以下の分銅が１個づつ売られていました。残りは全て売り切れていて在庫もないのです。

■売り出し中の分銅（単位 g ）

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

の11種類が1個ずつ。

予算の都合であなたはこのなかから8個の分銅を買い求めることにしました。

天秤を１回使うことにより、1gから32gまで1gきざみの重さの全ての場合で、薬をはかれるように、分銅を選んでください。

（例えば、薬を1g分、あらかじめはかっておいて、これを分銅替わりにして次の天秤による計量に使い回すことは反則とします。）




	【　 ■回答 2 3 7 13 17 23 29 31 の８個の分銅を買います。 ■ごくかんたんに解説分銅１個そのままの重さ、あるいは、分銅２個の重さの差で薬をはかりだすのでした。このとき、購入必須の分銅をみつけだすには、はかるべき1gから32gまでのうち、重いほうから先に考えていくほうが楽です。 32 は元々所有していました。 31 は明らかに必須です。 30 は、32-2のみが可能なので 2 が必須となります。 29 は、32-3 ではかるか 29 を単体で使うか迷うところです。⇒いったん保留します。 28 は、31-3 でしかはかれません。従って 3 が必須です。 27 は、32-5 または 29-2 でしかはかれません。⇒いったん保留します。 === ここまでで必須分銅は以下の通りです。購入予定の８個のうち３個が必須として浮かんできています。 2 3 31 32 === 26 は 31-5 または 29-3 ⇒ いったん保留します。 25 は 32-7 としてはかるほかなく、7が必須となりました。 === ここまでで必須分銅は以下の通りです。購入予定の８個のうち４個が必須として浮かんできています。 2 3 7 31 32 === 24 31-7 でオーケー。 23 23 に 2 3 7 のどの分銅を加えても確定済みの必須分銅の重さになりません。従って23は単独の分銅ではかるしかなく、必須です。 === ここまでで必須分銅は以下の通りです。５個みつかりました。 2 3 7 23 31 32 === 22 29-7 ではかるしかなく、29は必須です。 === ここまでで必須分銅は以下の通りです。６個みつかりました。 2 3 7 23 29 31 32 === ここで保留していな内容を再考します。 29 必須 27 29-2 で解決 26 29-3 で解決保留していた件は解決済みとなりました。 21 23-2 20 23-3 19 19 を必須とみるか 32-13 として13を必須とするのがよいのか…保留しておきましょう。 18 29-11 ではかるか 31-13 ではかるか保留します。 17 19-2 か 17 か保留します。 16 23-7 15 32-17 17-2 のどちらかしかありません。17が必須となりました。 === ここまでで必須分銅は以下の通りです。７個みつかりました。 2 3 7 17 23 29 31 32 === 14 17-3 13 13 または 32-19 保留 12 29-17 11 11 または 13-2 で保留 10 17-7 9 32-23 8 31-23 7 確定 6 23-17 5 7-2 4 7-3 3 2 1 3-2 保留していた件を以下におさらいします。 === 19 19 を必須とみるか 32-13 として13を必須とするか。 18 11を必須とみて 29-11 か 13を必須とみて 31-13 か。 13 13 を必須とするか 19を必須として 32-19 とするか 11 13を必須として13-2とみるか11を必須とするか。ここで、13を採用しない場合には11と19とをともに必須とするしかなく、13を必須とすれば11と19とを不要とみなせることがわかります。前者のケースは、No.1のエピソードで分銅店の店主が勧めてきたセットです。後者のケースは、この出題の解となっています。 ■この問題の出典この問題は《素数ものさし》から題材を頂きました。《素数ものさし》は売られていますので調べてみてください。素敵で、欲しくなります。また、《素数ものさし》については以下の論文で全容がわかります。 Complete List of Prime Number Rulers http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/papers/pdf/pnr.pdf 】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

s_hskz 2015/10/10 21:08

　
あなたが悩んでいると店主のエラトステネスが揉み手をしながら近づいて声をかけてきました。あなたが要望を話すと店主がこのように話しました。

『あー、それならこれでいいでしょう。』

店主が示した分銅は以下の通りでした。

2, 3, 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31

『確かめてみましょうか。』と店主が言い、説明を始めます。大略、以下のようでした。
32 元々持っている
31 そのまま
30 32-2
29 そのまま
28 31-3
27 29-2
26 29-3
25 32-7
24 31-7
23 そのまま
22 29-7
21 23-2
20 23-3
19 そのまま
18 29-11
17 そのまま
16 19-3
15 17-2
14 17-3
13 32-19
12 31-19
11 そのまま
10 29-19
9 11-2
8 11-3
7 そのまま
6 17-11
5 7-2
4 7-3
3 そのまま
2 そのまま
1 3-2

『ご希望の通りにはかれますでしょう？いかがですか、このセットで。』

『いや、予算が…８個までしか買えないんだ…』と答えると店主はたたみかけてきました。
『５代続いて来た分銅店の店主として断言しますがね、もしもお客さんの手持ちの分銅が30gのものだったら、8個の分銅の追加で30gまではかれたのですがねえ。ちなみにこんなのです。8個なんてこれくらいが限界ですよ、お客さん。』

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 29

あなたは腕組みをしながら考えてみています。もう少しで良い考えがうかびそうです……
　

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

みれい 2015/10/10 21:36

だからエラトステネスなのか。納得 (^^)

s_hskz 　
正解です。とても綺麗なご解答ですね。模範解答としてご案内させて頂きたいほどに素晴らしいです。

…デジャブ…
　
【東京五輪記念硬貨偽造事件】でのご回答と同じく、言い様のないスマートさを感じました。
　
追伸：この店主は新天地で今度は「篩専門店」を開くようです。
　

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

j 2015/10/10 22:09

抜けがないといいのですが・・・

s_hskz 　
さっそく購入して三角クジを引いてはずれたあなたは自宅に帰りました。カラスが鳴いています。なんだかいやな予感がします。さっそく確認してみます。【しまった 22g がはかれないっ】
あわててレシートと商品をたずさえ分銅店におもむきましたが既にシャッターがおりていました。そこには貼り紙が。【長年にわたるご愛顧を有り難うございました。本日にて店じまいとなりました。店主は旅に出ます。探さないでください。】
　
ということになるかもしれません。　
すみません、ついつい妄想しました。
　

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

Yss 2015/10/10 23:44

とりあえず解答だけ

s_hskz 　
とりあえず正解メダルだけ…(^O^)
　

▲ △ ▽ ▼ No.5

ヒミツ

j 2015/10/11 02:09

弟が遊びに来て分銅と薬で遊んでいましたが、なにやら困ってる様子・・・
弟「にぃに、量れないよ～」
弟思いのにぃにはエラトステネス分銅店に駆け込みます・・・が店にはシャッターが下り・・・【長年にわたるご愛顧を有り難うございました。本日にて店じまいとなりました。店主は旅に出ます。探さないでください。】の張り紙が！
悄然としてあてどなく歩いていると「古いやつだとお思いでしょうが、ふるいやつほど新しい店を開きたがるもので・・・」ん？その声は分銅屋のエストラネス！
にぃに「やいやいやい！ここで会ったが100年目、神妙に重さを変えやがれ！」　
自分で間違えておいてこの態度・・・いつの時代もモンスタークレーマーと言うのはいるものですね (・o・∥)

s_hskz 　
正解!

そしてバカウケしました。腹が痛いです。
　

▲ △ ▽ ▼ No.6

ヒミツ

Yss 2015/10/11 11:31

考え方を。

篩店

最初、タイトルを見て素数に関係しているのかと思った・・・
・・・って今見直してみたら、最初に持ってる分銅以外は素数なんですね！
（今さら気づいた・・・）

s_hskz 　
はい、"素数"は趣向なのでした。問題の数理的側面に深い関わりがあるわけではございません。

ところで、囁かれた内容を元に申し上げます。記述上に現れる14番目の自然数に29番目の自然数を加え更に31番目の自然数を加えそこから16番目の自然数を減じた自然数をqとします。qの重さをはかるにはどうしたら良いか考えます。

最初の段階で、Ｘ個（購入は（Ｘ－１）個）まで確定していることになりますのであとは、ますます比較的楽になることでしょう。　

分銅店の店主は年季がはいっていますからそこまでは見抜いていたと思います。この状況下で、間違った印象を与えるデモンストレーションまでして、９個の分銅を売り付けようとしたのですから、いかにも「売らんかな主義」ではなかったかとも思われるのです。腹黒い奴ですね。今考えれば、あの揉み手も怪しいです。

って自分が作った物語世界の架空の人物に腹をたてても仕方がありません。(^O^)
　

▲ △ ▽ ▼ No.7

ヒミツ

Ann 2015/10/11 21:31

合っているといいのですが…。

s_hskz 　
正解です。バッチリです。(o^ O^)シ彡☆
　

▲ △ ▽ ▼ No.8

ヒミツ

たっくん４ 2015/10/12 14:41

　どうやらこれ、唯一解のようですね。
s_hskz さんが、出題に際していったいぜんたいどうやって唯一解となるこの組み合わせにたどり着いたのか、にすごく関心があります。

s_hskz 　
正解です。

う…鋭いご質問です。舞台裏については回答発表のときに詳しくご案内さしあげたく存じます。今はその一端だけでご容赦ください。

たとえば、
《最初に 18 を持っていたときに分銅屋で

2 3 5 7 11 17

を補充すれば大丈夫》というジャンルについては、補充する分銅の重さが素数になるケースにおいては数学者により全容が解明されています。そのことを某誌で知り、私はその方面の論文のありかを OEIS (On-Line Encycropedia of Integer Sequences)で知ることができました。論文から当該の性質をもつセットの一覧を入手できたのです。

さて、チカラヅクで解くパズルにはしたくありません。ある程度の見通しがあればスマートに解を追い詰めることが出来るもの、そして、ほんのちょっとだけ紛らわしい分岐にはまるかもしれないもの、あまり難しそうにみえないものを、【論文に記載の一覧表】から選び、出題にこぎつけました。また、分銅屋の店主が代替案を出して来たら面白かろう、代替案は例題にもヒントにもなるかもしれない、という腹積もりも御座いました。

さて、ここまで語っていながら全容ではございません。回答発表時には、このアイデアを具現化した実在する品物のご案内をいたします。おシャレな品物でして、ひょっとしたら欲しくなるかもしれません。
　

▲ △ ▽ ▼ No.9

s_hskz 2015/10/13 11:14

以下、こめんどうくさいことを書き連ねますが今回の出題の解を探すことは面倒くさくありません。見かけよりも簡単なのです。

No.8 のたっくん4さんの"唯一解"に関しまして追記いたします。

最初にもっていた分銅が18のときに、素数の重さの分銅でできるだけ少なく(６個)補充したいときの、分銅のパターンは二通りになります。

2 3 5 7 11 17

2 3 5 11 13 17

この意味では唯一解ではありません。

最初にもっていた分銅が32のときに、素数の重さの分銅で補充したいときの、分銅のパターンは二通りです。

ひとつは分銅屋店主が提案した、補充分銅個数が 9 のパターン、もうひとつは、補充分銅個数が 8 のもので、今回の出題の答えになっています。

最初にもっていた分銅が32のときに、8個の素数の重さの分銅で補充したいときの、分銅のパターンは一通りです。

No.8 のたっくん4さんの"唯一解"とは、ひょっとして、《最初にもっていた分銅が32のときに、8個の【素数とは限らない】重さの分銅で補充したいときの、分銅のパターンは一通りで、偶然にもそれらの分銅の重さが皆、素数になっている》という意味でしたでしょうか…… だとしたら、いかにも不思議な出題ですよね。どうやってみつけたのだろうと。

さて、【素数とは限らない】補充分銅のことについては随分と昔から着目されてきたようです。ですが、私は詳しくは存じ上げません。これからその方面を散策してみようと思っています。 32gに補充できる分銅探しの旅に出ます。探さないで下さい。

追伸。ひとつみつけました。
1 10 13 21 24 26 28 30 32

　

▲ △ ▽ ▼ No.10

ヒミツ

length 2015/10/13 23:51

s_hskzリスペクト!

赤青黄…のほうを。

s_hskz 　

(o^ O^)シ彡☆lengthリスペクト!

　
lengthさんが突破条件を満たしていることを完全に見逃しておりました。(^O^)
　

▲ △ ▽ ▼ No.11

たっくん４ 2015/10/14 08:47

＜No.8 のたっくん4さんの"唯一解"とは、ひょっとして＞

いやいや、そんな複雑な話ではなくて、この問題に「解がひとつしかない」ということに感心しただけです。こういう問題、自分で作ると結構ボロボロ別解が出てくるもので。
というわけで　s_hskzさんをリスペクトしています (*^_^*)

　←これはおちょくりではないのでOK

s_hskz 　
(o^ O^)シ彡☆たっくん４リスペクト!

なるほど、そういうわけだったのでしたか。…たまには別解がないやつをと志向してみたくなりました。当初は、使わなかった補充分銅３個のギロム数の積を囁いてもらって、かってに君に自動判定してもらおうとさえ考えていたのですが、そうしなくて正解でした。頂いた囁きの内容を拝見いたしますと様々なアプローチがありまして勉強になっております。
　

▲ △ ▽ ▼ No.12

ヒミツ

たっくん４ 2015/10/14 14:42