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７個は苦労しそう 
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 はかっておしまい
難易度：★★
 あれれ
2015/09/15 12:52
上皿天秤と6個の分銅があります。
分銅の重さはそれぞれ1g,2g,3g,4g,5g,6gです。 この6個の分銅を姉と妹の二人で分けました。 姉は自分の持っている分銅で1gからAgまで1g刻みで量ることができ、 (A+1)gは量ることができません。 妹は自分の持っている分銅で1gからBgまで1g刻みで量ることができ、 (B+1)gは量ることができません。 A,Bは自然数で、A≦Bです。 Aの最大値はいくつでしょうか。 また、そのとき分銅はどのように分ければよいでしょうか。 ※左の皿と右の皿に載せた分銅の重さの差がそのとき量れる重さです。 7gの分銅を追加して、分銅が7個になった場合はどうなるでしょうか。 ちなみに、姉の名前は葉勝手尾コウ、妹の名前は葉勝手尾カナ。 二人あわせて葉勝手尾姉妹！
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回答募集は終了しました。
あれれ
6個の場合正解です。
Aの最大値は9。
A：1+2+6 [1][2][1+2][6-2][6-1][6][6+1][6+2][6+1+2] B：3+4+5 [4-3][5-3][3][4][5][5+4-3][4+3][5+3][5+4] 以上のように分けることで、姉妹ともに9gまで量ることができる。 【Aが10以上にならないことの証明】 (自分が持っている分銅の重量の合計+1g)は、どのような分銅があっても量ることができないのは明らか。 (自分が持っている分銅の重量の合計-1g)は、1gの分銅を使えなければ量ることができないが 1gの分銅は1個しかないので、姉妹のうちいずれか一方は(自分が持っている分銅の重量の合計-1g)を量ることができない。 よって、A+Bの上限は(一方が持っている分銅の重量の合計) + (もう一方が持っている分銅の重量の合計-2) = 19。 A≧10ではA＞Bとなってしまい条件に反するので、Aは9以下でなければならない。 
おまけ問題はまだ考え中。
あれれ
6個の場合正解です。
最大値であることの証明が鮮やかです！ 
あれれ
あれ？いきなり7個の方ですか。
勘は外れです。
あれれ
7個の場合も正解です。
ヒミツ
No.3 では失礼を致しました。 最大の証明がなかなかスッキリしませんので困りました。 おまけ問題はまだよくわかっていません。
あれれ
6個の場合正解です。
あれれ
7個の場合正解です。
これが最大値です。 ……
A=11 が最大であることを確認したいと思います。 姉妹のどちらかの持つ分銅が２個以下になれば与えられた条件は満たさないことを自明とします。 すると姉妹のどちらかは３個の分銅を持ちます。これらの３個の分銅でも、少なくとも 1g から Ag (≧12g) まではかりだすことができなくてはいけません。 1g 3g 7g の組で、1g から 11g まではかりだせていましたが、これ以外の３個の分銅の組み合わせで A≧12 が実現できるかどうかを調べることとします。 さて、そのような組み合わせがあるのであれば、当然、Aよりも小さい 11 について考えれば、〈1g から 11g まではかりだす〉ことが可能なはずです。この緩い条件を満たす、1g 3g 7g の組み合わせ以外の組み合わせを探してみることとします。もしもこの緩い条件を満たす組み合わせが見つからなければ、A≧12 を満たす ３個の分銅の組み合わせがないことになり、ひいては、A≧12 ではないとわかります。 ３個の分銅の偶奇をもとに組み合わせを分類すると以下の４パターンになります。 偶偶偶 偶偶奇 偶奇奇 奇奇奇 おのおの個別に調べていきます。 〈偶偶偶〉 奇数を作り出せません。偶偶偶は不適です。 〈偶偶奇〉 少なくとも 2 4 6 8 10 の5個の偶数をはかることができなくてはいけません。ところがこの組み合わせのうちの１個の奇数は使いようがありません。２個の偶数で5個の偶数をはかりだせるかどうか調べます。大きいほうをＥ、小さいほうをｅとすれば、下記の偶数をはかりだせる可能性があります。 ｅ Ｅ Ｅ-ｅ Ｅ+ｅ これら４個のパターンしかありえませんから、2 4 6 8 10 の5個の偶数をはかりだすことができません。これでは、条件を満たしません。従いまして、偶偶奇は不適です。 〈偶奇奇〉 偶数をE、大きいほうの奇数をＯ、小さいほうの奇数をｏとします。1g 3g 5g 7g 9g 11g の重さをはかりだせるかどうか調べます。奇数を作り出せるパターンは以下の６ケースに限られます。なお、｜｜は絶対値符号です。 Ｏ ｏ Ｅ+Ｏ ｜Ｅ-Ｏ｜ Ｅ+ｏ ｜Ｅ-ｏ｜ 丁度６パターンありますから、1 3 5 7 9 11 をはかりだせるかどうかあてはめていきます。 Ｅ+Ｏ が最大ですので、これが11となります。するとＥ、Ｏの組み合わせは、Ｅ=4、Ｏ=7 の組み合わせ、およびに、Ｅ=6、Ｏ=5 の組み合わせ、の２通りだけが条件を満たします。 Ｅ=4、Ｏ=7 であると仮定しましょう。9 は Ｅ+Ｏ=11 の次に大きな、Ｅ+ｏ に等しくなります。従いまして ｏ=5 です。３個の分銅は 4g 5g 7g となるはずですが、これでは 10gを、はかりだせません。Ｅ=4、Ｏ=7 の組み合わせは不適とわかりました。 次に、Ｅ=6、Ｏ=5 の組み合わせを調べます。 Ｅ+Ｏ=11、Ｅ+ｏ=9 ですから、ｏ=3 となります。３個の分銅は 3g 5g 6g となるはずですが、これでは 7gを、はかりだせません。Ｅ=6、Ｏ=5 の組み合わせもまた不適となりました。ここまでで、偶奇奇の組み合わせは全て不適とわかりました。 〈奇奇奇〉 既にのべたように1 3 7 の組み合わせは除外します。 1 3 5 では 11 に届きませんから不適です。 1 5 7 では 9 を作れませんから不適です。 3 5 7 では 1 を作れませんから不適です。 〈奇奇奇〉の組み合わせには求めるものがみつかりません。 ３個の分銅の偶奇をもとに組み合わせた４分類、〈偶偶偶〉〈偶偶奇〉〈偶奇奇〉〈奇奇奇〉には、A≧11を満たす組み合わせは、1 3 7 以外にないことが確認できました。このとき、A=11ですから、Aの最大値は11 と示されました。 もっと短いのが見つかれば嬉しかったのですが……
7個 の場合の A の最大値について考えてみました。
あれれ
7個の場合にあれが最大であることの証明ですね。
証明することは難しくありませんが、簡潔な証明はなかなか難しそうです。 今の所これの半分くらいのものは用意してあります。
答えを発表します。
6個の場合、Aの最大値は9。1,2,6と3,4,5と分ける。 7個の場合、Aの最大値は11。姉は1,3,7。妹は2,4,5,6。 証明は囁きの公開をもって代えさせていただきます。
大した証明ではないので発表する価値もなしと思って書かなかったのですが、
ご要望がありましたので書いておきます。 7個の場合、A=11で可能なことは確認できると思いますので、 Aが12以上になるのは不可能なことを示します。 Aを12以上にできると仮定します。 分銅を1個ものせない場合を除くと、分銅k個の状態の総数は3^k-1です。 左右を入れ替えても量れる重さは同じですので、量れる重さは最大で(3^k-1)/2種類。 分銅3個では最大13種類量れますが、分銅2個では最大4種類です。 よって、姉、妹の一方は分銅3個で他方は分銅4個です。 その3個の分銅の重さの和をx、4個の分銅の重さをyとすると、x+y=28、12≦x,y≦16。 3個の分銅を持っている方について考えます。 x-3が量れないとすると、x-3は13以上であり、x=16。 量れる重さは最大13種類なので、13,14,15は測定不可能であり、1,2,3の分銅はありません。 7の分銅が無いと和は最大15なので7があり、3個の分銅は(4,5,7)と決まります。 しかし、10が量れませんので矛盾。x-3は測定可能と分かります。 3個すべてを使って量れる重さの偶奇はxと等しいので、3個でx-3を量ることは不可能。 x-3は8以上なので1個で量ることはできませんし、2個の差として量ることもできません。 よってx-3は2個の和であり、他の1個は3と確定します。 x=12の場合、11を量るために1が必要ですが、1,3を含めると和が11以下ですので不適。 x-5は8以上となりますのでx-3のときと同様にx-5は2個の和であり、他の1個は5です。 2個が3,5なので、もう1個は6以上です。 (3,5,6)では7が量れず、(3,5,7)では6が量れませんので、どの場合も不可能と分かりました。 (4,5,7),(3,5,6),(3,5,7)が不適であることを示すために、ある値が量れないと書いていますが、 文章を短くするためです。 どれも和が13以上なので、次のように値が重複することを示す方が分かりやすいと思っています。 7-5=4+5-7 5-3=3+5-6 5-3=7-5 |
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