ヒミツ

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猫が複数匹同時に動いていいことを忘れてました。２匹ですね。<br>立方の対角点に猫が２匹いたとすると、ネズミはどこにいても（とどまっていても、動いても）逃げ場はないので食べられる。<br><br>猫が２匹、立方のどこか一辺の両端にいたとして、ネズミが猫の一辺の対辺のどちらかの点にいたとし、動いて食べられない場所は、やはり対辺のもう片方の点しかない。（それ以外に動くと即食べられる）<br>ネズミが猫のいる辺の対辺のどちらかの点にいて、猫の動きは２匹とも動くのですがそれは、最初の対角点に移動できるのでそこで手詰まり。<br><br>猫二匹が、面の対角にいた場合、ねずみが一旦いることができる場所は、猫のいる面の対角点のねじれの点、２点ですが、猫が１匹立方の対角点に移動できるので、ネズミはここで手詰まり。<br>で、同時に猫が動けるとみたので、猫２匹で十分だと思います。

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答(1)２匹　(2)３匹

(1)　２匹いればＯＫで、１匹では無理
　 立方体の対角（３次元すべて異なる頂点）に一組（２匹）の猫を置くことができれば、
　残る全ての頂点はそのどちらかに隣接しますので、ネズミに逃げ場はありません。（※）
　当初どんな配置であっても、２匹の猫が動くターンで確実に対角配置が実現されます。
　　
(2)３匹いればＯＫで、２匹では無理　
８つの頂点にそれぞれ、隣接したところが同じ色にならないように色を塗ると、２色で塗り分けられます。
　仮に赤４・青４に塗り分けたとします。猫は、一手ごとに赤⇔青を行ったりきたりします。
　A)猫２匹　当初配置が赤２（青２も同じ）だとすると、ネズミが残る赤の頂点にいれば捕まりません。その後も、ネズミが猫と同色の頂点に移動し続けることで、絶対に捕まりません。

　B)猫３匹　当初配置が赤３（青３も同じ）の場合、ネズミの安全な場所は残る赤の頂点だけ。次の猫の手で、その頂点を取り囲む青の頂点３つを占めることができますので、確実に逮捕できます。
　C)猫３匹　当初配置が赤２青１の場合。（青２赤１も同じ）２手目に赤・青の対角を占める配置が可能ですので、次の手で確実に捕まります。

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答えは2匹。

1匹で不可能なことは明らかだと思います。
2匹の場合、2匹の猫が最も離れた2頂点に移動すれば、
次のターンではすべての頂点に移動可能となりますので、
確実に捕えることができます。

答えは3匹。

a,b,cは0または1をとる変数とし、
8個の頂点の座標を(a,b,c)で表します。
a+b+cが偶数の点を偶数点、奇数の点を奇数点と呼ぶことにします。
偶数点と奇数点は4個ずつで、隣接する点の偶奇は異なります。
また、ある頂点からある頂点へ移動するのにかかる最低ターン数を
その2つの頂点間の距離ということにします。
隣接する頂点間の距離は1で、頂点間の距離は0,1,2,3のいずれかです。

猫2匹では不可能なことを示します。
最初にネズミが偶数点、猫2匹が奇数点にいた場合、
ネズミが毎回移動すれば、猫が移動する点と偶奇が異なり、
2匹ではネズミを囲むこともできないため、捕まることはありません。

猫3匹の場合
猫のいる頂点の偶奇が異なるものがあれば(1)の方法で捕獲可能です。
すべて偶数点、またはすべて奇数点にいる場合を考えます。
猫2匹がいる頂点間の距離は2で、猫3匹の頂点を結ぶと正三角形。
この正三角形で立方体を切断すると、4面体が切り取られます。
この4面体の頂点で、猫のいないものをAとします。
Aから各猫までの距離は1です。
Aにネズミがいる場合は次で捕まえられます。
Aにネズミがいない場合は3匹の猫がAから距離2の3頂点に移動します。
これで捕まらなければネズミはAから距離3の点にいますので、
次で捕まえることができます。

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