期待値などの知識はありませんが解答してみますね。

毎回普通にサイコロを振る場合の期待値を求める問題自体が初見でしたので、まずはそちらから。
本題のほうも同様の手法で解けるはずですが、係数が３系列必要となるので、面倒そうだなぁ

こんな感じでしょうか

このサイコロの動かし方・・・昔遊んだXI（サイ）というゲームを思い出して懐かしくなってしまいました。
解答のほうはかなりゴリ押し感満載ですが、これ以外の方法が思いつかなかったもので・・・

matcherさん同様ゴリ押しで解きました 　
大晦日紅白を聞きながらひたすら筆算という

マルコフ過程の推移行列はちゃんと書けてると思いますので、
これで答の数値が違ったら、逆行列使ってエクセルで一気に解きたいです。
できれば回答公開は待っていただけると嬉しいです

問題の読み間違いでしたか。大変失礼いたしました。
筆算でもう一度ゴリゴリ計算してみます。

難しい方法は解りませんが…

再提出です。よろしくお願いいたします

しまった囁きとコメントを逆にしてしまいました 。
酔っ払ってスマホを操作するものではありませんね。大変申し訳ありません。　

No.7は無視することにして答えを発表します。

答えは269/21です。

nを自然数とします。
サイコロをn回転がした時点のサイコロの状況を、
既に出た目とまだ出ていない目の面の配置により分類します。
上面と底面の中心を結ぶ直線を軸とする回転で同じになるものは同じ配置とみなします。
既に出た目の面を既出面と呼ぶことにします。

既出面が1個の場合
上面の目はn回目に出た目ですので、上面は既出面です。
他の面は既出でないので、1通りだけです。
この配置をAとします。

既出面が2個の場合
上面以外の既出面は1個。
それが側面の場合と底面の場合が考えられますが、
既出面が上面と底面だけとなることはあり得ません。
上面と側面の1個の1通りです。
この配置をBとします。

既出面が3個の場合
次の3通りの配置が考えられます。それぞれC1,C2,C3とします。
C1:上面と、隣接する側面2個
C2:上面、底面と側面1個
C3:上面と、隣接しない側面2個

既出面が4個の場合
次の3通りの配置が考えられます。それぞれD1,D2,D3とします。
D1:上面と、側面の3個
D2:上面、底面と、隣接する側面2個
D3:上面、底面と、隣接しない側面2個

既出面が5個の場合
次の2通りの配置が考えられます。それぞれE1,E2とします。
E1:側面の1個以外が既出面
E2:底面以外が既出面

既出面が6個の場合
1通りしかありません。この配置をFとします。

続く

n回目の配置がX、n+1回目の配置が転がす方向に応じてX1,X2,X3,X4だとします。
これをX->X1,X2,X3,X4と略記します。
ある配置から配置Fまでにかかる回数の期待値を小文字で表すことにします。
配置Xから配置Fまでにかかる回数の期待値はxです。
当然f=0です。
このとき、x=1/4*(1+x1)+1/4*(1+x2)+1/4*(1+x3)+1/4*(1+x4)
4x=4+x1+x2+x3+x4
が成り立ちます。
A->B,B,B,B
B->C1,C1,B,C2
C1->D2,C1,C1,D2
C2->D1,D1,C3,D3
C3->D1,D1,C2,C2
D1->D2,D2,D1,E1
D2->E1,D1,D1,E1
D3->E2,E2,D3,D3
E1->E1,E1,E2,F
E2->E1,E1,E1,E1
ですので、
4a=4+4b
4b=4+2c1+b+c2
4c1=4+d2+2c1+d2
4c2=4+2d1+c3+d3
4c3=4+2d1+2c2
4d1=4+2d2+d1+e1
4d2=4+e1+2d1+e1
4d3=4+2e2+2d3
4e1=4+2e1+e2+f
4e2=4+4e1
これを解くと、
e1=5
e2=6
d1=8
d2=15/2
d3=8
c1=19/2
c2=66/7
c3=68/7
b=227/21
a=248/21
1回目で配置Aになりますので、求める期待値はa+1=269/21

ではロックします。