レピュニット：まったく初見の定義で、考えるのが楽しかったです 。中で勝手に仮定（定理？）を二つ置いて考えてますが、たぶんどちらも証明できると思います。
　解いてみて気づいたのですが、ちょうど高１の娘が今循環小数（循環節）を習っていまして、この問題はその発展・応用っぽい感じですね･･･

なるほど、仮定２で「最初の」であることが言えないと、「最小」は判明しませんね。3^n の場合、3乗だろうが100乗だろうが「最初の」が成り立つことが「桁の全数の和＝mod,9 」から明らかなので、他の素数でもなんとなくＯＫだろうと脳内処理してしまってました。　いずれにしても、ワタシの数学の知識を超えてますから、書くことが出来るのはココまでです

１番のみ一応やってみましたが、自信はないです。

長くなりそうだったので、自明に近いものは証明を省略させて頂きました。
答えが異様に大きくなってしまった気がしないでもないので自信はない。

前半　再挑戦です。
どうでしょうか。

ばれないかなと思ったけどバレたか←
私が用いた命題は素数に関するものだから合成数である49ではダメなんですよねー・・

17に関してはわからなかったです。別の命題についても考えたんですが、
元々あまり素数論整数論は不得手・・・おもしろいんですけどね。
あれが最小なのは「既知」とさせていただきました。
キチっていうかウィキっていうか(

問題文をコピーして考えていたのですが、13×17×213になっていて、
気づかずにそのまま解いてしまいました
不自然な数字だとは思ったのですが・・・orz
解答しようとしたときに気づいてやり直しました。
疲れたー
計算ミスが怖い

ご指摘ありがとうございます。
書き間違い、計算ミスだらけでした。すみません。
最後の最後で気が抜けてしまったようです。
最後の4行、修正しました。

3日後くらいか、遅くとも今週中にはヒントを出そうと思います。

コピペするとへんになるみたいですね なおしました

ヒントです。遅くなってしまい申し訳ありません。

まずは13,17,7³,3³それぞれにおいて、その倍数の最小のレピュニットが何桁なのかを考えます。
(調べれば簡単に分かりますが、調べた結果を解答に使うのはナシでお願いします)
7³,3³に関しては、指数をはずした7,3から順に考えてください。

求め方はいろいろあります。
�@レピュニット数の小さい方からひたすら割って確かめる。
�A11…1ではなく99…9となる最小の数を求める。合同式を用いる。
�B11…1ではなく99…9となる最小の数を求める。循環小数を用いる。

ヒントですので詳しい計算方法は伏せますが、一言
�@→やらない方がいいと思います
�A→計算の回数は多いですがやることは簡単です。
�B→ただ割り算をするだけです。

ある定理を使えば、桁数に関するちょっとした法則を見つけ出すこともできます。
それにより�Aの計算が少し楽になったり�Bの答えに確信がもてたりします。

7,3の倍数の最小レピュニットを求めた後、7³,3³の倍数の最小レピュニットを求めるのは少し考える必要がありますが、そんなに苦労はしないと思います。

それぞれ最小のレピュニットさえ求まれば、あとはすぐ答えが出せるでしょう。


答えさえ出せれば正解なのですが、7,3の倍数の最小レピュニット桁数を求めてから7³,3³の倍数の最小レピュニット桁数を求めるところで、最小であることを厳密に示すのを忘れてしまいがちです。
少し計算をして確認しなければなりません。具体的には、7²の倍数の最小レピュニットが7³の倍数ではないことを示せていないです。
値が小さいので自明のように思いますが厳密には確認が必要です。
一般的には「pを素数、nを自然数として、pⁿの倍数の最小レピュニットがpⁿ⁺¹の倍数でもあるようなnとpが存在する」_※かもしれないということです。
指数が1つ上がる毎に確認が必要であるので、大きい数字を考えるのは非常に困難になります。これが13,17,21の指数に100とか1000とか大きな数字を入れられなかった理由の1つでもあります。

※これが真なのか偽なのかは自分でも結論に至っていません。自分は偽、つまり存在しないと思っているのですが、もし存在しないのであれば任意の自然数の倍数のレピュニット数について一般的な規則が表せると思います。
存在しないことを証明できる方、もしくは逆に存在する例を示せる方はどうかご教示願いたいです。

計算してみたところ、
p=487のとき、pの倍数の最小レピュニットはp^2の倍数でもあるようです。
ご確認願います。

無駄に一般化を目指してみたら、解答にかかった時間も解答そのものも恐ろしく長くなってしまいました。
（しかも一般化と言い切るにはまだ遠いですね。 ）
証明はもとより、設定した補題が正しいのかどうかもあまり自信がありませんが
もし補題4が成り立つなら、ここは掘り下げ甲斐がありそうです。

11111111111111111118桁
は
13 7 3^2 の倍数

3333366667×3×3×37×13×11×7

↑の3^2→3^3
にすると54桁です