ヒミツ

問１(1) 360＝3×4×5×6　　　　　(2) x＝4, -5, (−1±√71i)/2
問２(1) x^2−2x−5　あまり：−1　(2) x＝ 1±√7, 1±√5
問３　-1±√5i


【解法】
■問１(1)
(i) 360＝2^3×3^2×5（素因数分解）
(ii)5があって7がない連続する4つの自然数の積は2×3×4×5、3×4×5×6のどちらか。
360になるのは3×4×5×6。

■問１(2)
f(x)＝(x−1)x(x＋1)(x＋2)とおく

　　(1)より　360＝3×4×5×6＝(-6)×(-5)×(-4)×(-3)

(i)x≧1のとき
　(x−1), x, (x＋1), (x＋2)のどれも単調増加なのでf(x)も単調増加関数。
　従ってf(x)＝360を満たすのは唯一x＝4のとき。

(ii)x≦-2のとき
　(x−1), x, (x＋1), (x＋2)のどれも単調減少なのでf(x)も単調減少関数。
　　　　
　f(x)＝360を満たすのは唯一x＝-5のとき。

(iii)-2≦x≦1のとき
　|x−1|≦3, |x|≦2, |x＋1|≦3, |x＋2|≦4
　なので、|f(x)|≦72＜360 であり、f(x)＝360を満たすxはない。

f(x)は4次方程式なので、あと2つの複素数解が存在する。

(iv) xが複素数のとき
　上記よりf(x)−360は(x−4)(x＋5)で割り切れるので因数分解すると
　f(x)−360＝x^4＋2x^3−x^2−2x−360＝(x−4)(x＋5)(x^2＋x＋18)
よって
　f(x)−360＝0　⇒　x＝(−1±√71i)/2　ただし i＝√(-1)

　以上より、f(x)＝360を満たすxは、4, -5, (−1±√71i)/2



■問２(1)
　x^4−4x^3−6x^2＋20x＋24＝(x^2−2x−5)×(x^2−2x−5)−1
　　商：x^2−2x−5　あまり：−1

■問２(2)
　 x^4−4x^3−6x^2＋20x＋24
　＝(x^2−2x−5)^2−1^2
　＝(x^2−2x−5−1)(x^2−2x−5＋1)
　＝(x^2−2x−6)(x^2−2x−4)

　x^2−2x−6＝0 ⇒ x＝ 1±√7
　x^2−2x−4＝0 ⇒ x＝ 1±√5

∴ x＝ 1±√7, 1±√5


■問３
　f(x)＝x^4＋6x^3＋20x^2＋36x＋36
　g(x)＝x^4＋ 7x^2 −2x＋30
　h(x)＝x^4−4x^3＋ 4x^2−16x＋60

共通解αがあると仮定すると　f(α)＝g(α)＝h(α)＝0　がなりたつ

　f(x)−g(x)＝ ＋6x^3＋13x^2＋38x ＋6 ＝f2(x)　とおくと　f2(α)＝0
　g(x)−h(x)＝ ＋4x^3 ＋3x^2＋14x−30 ＝g2(x)　とおくと　g2(α)＝0
　h(x)−f(x)＝−10x^3−16x^2−52x＋24 ＝h2(x)　とおくと　h2(α)＝0

　2×f2(x)−3×g2(x)＝ 17x^2＋34x＋102＝ 17×(x^2＋2x＋6)
　5×g2(x)＋2×h2(x)＝-17x^2−34x−102＝-17×(x^2＋2x＋6)
　3×h2(x)＋5×f2(x)＝ 17x^2＋34x＋102＝ 17×(x^2＋2x＋6)

αは x^2＋2x＋6＝0の解のひとつ。
従って f(x)＝g（x)＝h(x)＝0 の共通解は -1±√5i

なお、f(x)＝0、g(x)＝0、h(x)＝0 残りの解はそれぞれ -2±√2i、1±2i、3±i となり異なる。
（4次方程式の複素数解は共役であることで有名なので、正直残りを調べるまでもない）

問１
(1)360＝3×4×5×6
(2)x＝4,−5,(−1±(√71)i)/2
問２
(1)商:x＾2 −2x−5
余:−1
(2)x＝1±√5,1±√7
問３x＝−1±√5i

問1
(1) 360＝3×4×5×6
(2)
a＝x＋1/2 とすると (a−3/2)(a−1/2)(a＋1/2)(a＋3/2)＝360
(a^2−1/4)(a^2−9/4)＝360
a^4−(5/2)a^2＋9/16＝360

これを満たすa^2は81/4、または−71/4。
a^2＝81/4となるaは±9/2なので、x＝＋4, −5
a^2＝−71/4となるaは±(√71)i/2なので、x＝±(√71)i/2−1/2
以上の4つが解となる。

問2
(1) 商＝x^2−2x−5、余り＝−1
(2) (1)で求めた商と余りを使うと (与式)＝(x^2−2x−5)(x^2−2x−5)−1＝0 と変換できる。
p＝x^2−2x−5とおくと、(与式) ＝ p^2−1 ＝ (p＋1)(p−1) ＝ (x^2−2x−6)(x^2−2x−4) ＝ 0

(x^2−2x−6)＝0 の解は x＝1±√7、(x^2−2x−4)＝0 の解は x＝1±√5なので
方程式 x4−4x3−6x2＋20x＋24＝0 の解は x＝1±√7, 1±√5の4つ。

ヒミツ

問2　　（1）x²−2x−5 余り−1

問２ <br>(1) −１<br>(2) <br>x^4−4x^3−6x^2＋20x＋24<br>＝ (x^2−2x−4)(x^2−2x−6)<br>答　１±√５、１±√７<br>

問１（１）4（２）4,-5,(-1±√（71)i)/2
問2(1)商X^2-2X-5 余り -1 (2)X=1±√(7)
1±√(5)
問3 -1±√（５）i

問1
(1)360=3×4×5×6
(2)x=4,-5,(-1±√71i)/2

問2
(1)商：x^2-2x-5、余り：-1
(2)x=1±√5,1±√7

問3
x=-1±√5i