x≠0のとき
x^(1-1)=x/x=1
ここでlim(x→0)(x/x)=1より、
x=0のときx^0=1と定義するのが都合がいい。
するとx^0=1


定義より、nが2以上の自然数のとき、
n! = n(n-1)!
n=1でも成り立つと仮定すると、
0！=1
したがって0！=1と定義するのが都合がいい。

�@n^aｘn^bに対し、n^(a+b)が成立する。
b=-aとおくと、
n^aｘn^(-a)=n^aｘ(1/n^a)=1
一方で、n^aｘn^(-a)=n^(a-a)=n^0
よってn^0=1 QED

�A0！=1は、そうすることが据わりがいいからで、「自然数nの階乗」の定義が、「nから1までの総乗」であることを考えると、1より右に自然数が存在しないことから、0！は定義外の不定となる。
普通は、n！=nｘ(n-1)！からn=1を代入して求められようが、まあ、定義に合致しないから、約束事に過ぎない。

X^0=X^0/1=X^0*X/X=X^(0+1)/X=X/X=1

N!/(N-1)!=N*(N-1)*(N-2)*...*2*1/(N-1)*(N-2)*...*2*1=N
Therefore, 1!/0!=1
1!=0!=1

�@X^0=X^(n-n)=x^n/x^n=1

�AX!=(X+1)!/(X+1) X=0のとき、
0!=1

(1)X^m＝k (m:実数，k:定数，X≠0) であるとすると，
X^0＝X^(m-m)＝X^m/X^m＝k/k＝1
よって X^0＝1 (X≠0)

(2)n個(n:自然数)の球を用いて輪を作る円順列を考えるとき，その並べ方は
n!/n＝(n-1)!　 n＝1 のとき
(左辺)＝1!/1＝1 ,(右辺)＝(1-1)!=0!
したがって 0!＝1

n,kを自然数とすると
x^n/x^k=x^(n-k)
k=nを代入すると
1=x^0

nを自然数とすると
n!/n = (n-1)!
n=1を代入すると
1 = 0!

(1)x^m*x^n=x^(m+n)が任意の整数m,nで成立する。ここで、x^m*x^0 = x^(m+0)= x^mなので、x^m<>0から、x^0 = 1
(2)n > 1でn! = n * (n-1)!
ここで、0!が1でないと仮定すると、1! = 1 * 0! = 1に矛盾する。故に0! = 1。

(1) 指数法則を使って示す。指数法則により、割り算をすれば割った数の指数だけ割られる数の指数から引くので　　x^3÷x＝x^2　　　x^2÷x＝x^1　x^1÷x＝1(＝x^0)となる。よって、x^0＝1　である。（ただし、このときx≠０である。）
（２）0!＝0Ｐ0　であることを使って示す。0Ｐ0 は、0個の中から0個選び並べる通り･･･�@　という事象であり、この事象は１つの作業としてありえる。ただし、この事象において複数通りあることはありえないので　0Ｐ0＝１　つまり　0!＝1　である。

余談ですが、(1)の結果より、x^-n＝1/x^n　（nは自然数）　であることがわかりますねー。
(2)の別解で、「nＰr＝n!/(n-r)!（n≧r）の公式を使って示す。この公式はすべての事象において適用できないといけないので、どこぞの数学者さん（Wikipediaでも探せませんでした）が、　n＝r!，n＝０のときでも成り立つように0!＝1と定めたので　0!＝1である。」ていうのはおかしいですかね。

(1)についてはＸ≠０及びＸ≠∞の条件付けが必要ではないでしょうか
（>6　のりんじんさんと　>9　の画瑠璃亜さんは書かれています）

Ｘ＝０　のとき（0^0）
その１
2^0＝1　1^0=1　→　0^0＝1
と考えられ　0^0は1になると考えられます。

その２
0^2=0　0^1=0　→　0^0=0
とも考えられ　0^0は0にもなると考えられます。
よって　0^0は0か1か不明なので解なしになると思います。

同様に無限大の場合でも無限大の考え方で1になったり無限大になったりします。
無限大は難しい問題なので数�T・Aレベルでは
考慮しなくてもいいと思いますが
X=0の場合については考慮の範囲に入れてほしいと思います。

(2)>n! = n(n-1)! が成り立つ
ここでnの範囲の定義は必要ではないでしょうか？
通常　n>1の自然数　といった範囲を定義するのですが・・・

元々階乗の定義から考えて0!は範囲外だと思います。
（>1　I.Tさんや　>2　MICさんのご指摘通り）
ただし計算上の決め事として　0!=1　としたと思います。
(そう決めると計算上都合がいいから。その都合のいい計算式でもって証明したとは言えないのでは？）