考えるとっかかりになるかもしれない問題です
(1)(2)では、結びつく解法が違うので両方合わせて考える必要はありません。

m、nは自然数とする。
(1)√(10^m)<n<√(2×10^m)を満たすnが存在するとき、mの範囲を求めよ。
(2)(m+1)n^2<m(n+1)^2を満たすnの範囲を求めよ。

検証はしてませんが

回答が少ないので、枯れ木も山の賑わいで(1)と(2)を。後期高齢者の私にはこれが限界ね。　

答えを書くのが面倒なので見送るつもりでしたが、
正解者が出ていないようなので参加してみます

小問を少しパワーアップ致しました

m,n,kは自然数とする。
(1,2) √(m×10^k)≦n<√{(m+1)×10^k}
を満たす自然数nが存在するとき、kの範囲をmを用いて表せ。


(2,2) (m+1)×n^2<m×(m+1)×10^k≦m×(n+1)^2
k→∞としたとき、この式を満たすm,nが存在しないことを示せ。

方針
anを連結した数列は考えにくいので、とりあえずan単体が任意の数列を含まないかを調べます。
ある数Bを含む場合の不等式を立てると証明することが可能です。

13日に正解発表します

解答例は以下のようになります


任意の数列（自然数）をBとする。
また、ｍを0以上の整数とする。


素直ver

B*10^m≦an<(B+1)*10^m　･･･�@
となるm,nの組が存在すれば、Aは数列Bを含む。

B=0のとき、n=0、m=1のとき�@は成り立つ。

B≠0のとき、�@をnについて解くと、m>0とすれば、
√{(B*10^m-47/12)/3}-1/6≦n<√{((B+1)*10^m-47/12)/3}-1/6　…�A
となる。

右辺-左辺 =f(m)とすると、
f(m) = √{((B+1)*10^m-47/12)/3}-√{(B*10^m-47/12)/3}
= (10^m/3)/{√{((B+1)*10^m-47/12)/3}+√{(B*10^m-47/12)/3}}
= (√10^m/3)/{√{(B+1-47/(12*10^m))/3}+√{(B-47/(12*10^m))/3}}
より
lim(m→∞)f(m) = ∞
よって十分大きいｍに対して、�Aを満たす自然数nが存在する。
以上から、Aが任意の数列Bを含むことが示された。



背理ver

anがBを含まないと仮定すると、全てのmに対して
an<B*10^m、(B+1)*10^m≦a(n+1)
を満たす整数ｎが存在する。

よって、全てのmに対して、
(B+1)*an<B*(B+1)*10^m≦B*a(n+1)　…�B
を満たす整数nが存在する。
ここで、中辺をmの関数、右辺をnの関数と見ると、中辺は増加関数であり、B≠0のとき
lim(m→∞)(中辺)=∞
追い出しの原理からlim(m→∞)(右辺)=∞
また、右辺もn>0を満たす実数で連続な増加関数なので明らかにnは無限に発散する。
このとき、n>0とすれば、
(B+1)*an＜B*a(n+1)
(B+1)<B*a(n+1)/an
両辺のn→∞の極限をとれば、
左辺→(B+1)
右辺→B
となり、十分大きいnに対して矛盾する。

したがって、全てのmに対して�Bが成り立つことはないので、数列Bを含むanが存在する。
以上から、Aが任意の数列Bを含むことが示された。


赤文字部分は2014/1/18 10:47に修正

一番大きな桁のところに任意の数が表れるようにすればよかったんですね。
a_n単体で任意の数を含むんだろうなとは思っていたんですが、どのような形で表れるかを考えることができなかった。

解答を見させていただきましたが、少し気になる点がありました。

最初の証明で、lim(m→∞)f(m)を求めるときに、Bは任意の値であるのに安易にlim(m→∞)f(m)=∞としていいのでしょうか。
Bは全ての値で（もちろんB→∞でも）成り立たなければならないので、m→∞に加えB→∞とするとlim(m→∞)f(m)の値は定まりません。
確かにBに対しmを遥かに大きな値にすればf(m)は限りなく大きな値になりそうなのですが、証明としては少し不十分な気がします。
ここではf(m)が∞に発散することを示す必要はないと思います。

�Aで右辺と左辺の差が1以上あれば、必ずその範囲内に整数nが存在します。
f(m)≧1となるmの値が必ず存在することを示せればよいです。

f(m)=√{((B+1)*10^m-47/12)/3}-√{(B*10^m-47/12)/3}　　（一行目の式です）
f(m)≧1より
√{((B+1)*10^m-47/12)/3}≧√{(B*10^m-47/12)/3}+1
両辺2乗して(両辺正なので同値変換)
((B+1)*10^m-47/12)/3≧(B*10^m-47/12)/3 + 2√{(B*10^m-47/12)/3} + 1
整理して
(10^m/3)-1≧2√{(B*10^m-47/12)/3}
両辺3倍
10^m-3≧2√{3(B*10^m-47/12)}
右辺は正であり、m=0は成り立たない。m≧1とする
両辺2乗して(同値変換)
10^2m-6*10^m+9≧12B*10^m-47
10^2m-6(1+2B)10^m+56≧0　・・・�C
これが成り立つm(≧1)が存在すればよい
10^m=xとおいて、y=x²-6(1+2B)x+56のグラフを考える
x²-6(1+2B)x+56=0とすると
x=3(1+2B)±√(36B²+36B-47)　（B＞0なので√の中は正）
また、3(1+2B)＋√(36B²+36B-47)＞0
よって、グラフの形を考えると　x≧3(1+2B)＋√(36B²+36B-47)においてy≧0
したがって、10^m≧3(1+2B)＋√(36B²+36B-47)　を満たす全てのm
すなわちm≧log₁₀{3(1+2B)＋√(36B²+36B-47)}・・・�D　を満たす全てのmで�Cが成り立ち、
�Aを満たすnが存在する。
よって題意は示される。

なお�Dは、�Aや�Cの十分条件であり必要十分ではありません。
なので�Dを満たさないmの値でも、�Aや�Cを満たすことはあります。
(というかf(m)≧1としている時点で�Aと必要十分にはならないですね。f(m)＜1で�Aを満たすことだってあるので。）
これだと、どんなに大きなBの値をとっても必ず成り立つmの値が存在することがわかると思います。
なんて言ってますが、この証明も解答を見てヒントを貰ってから考えたものなんですが・・・。

続いて二つ目の証明についてです。指摘ばかりですみません。

全てのmに対して�Bを満たすnが存在することを否定できればよいので、あるmで�Bを満たすnが存在しないことを示せばいいのですが、これだと一部のn(十分大きなn)で�Bを満たさないことを示しているだけです。
普通に読むと(何も考えずに読むと?)証明自体が間違っているように思ってしまいます。
全てのmで十分大きくないn（　B+1<Ba_n+1/a_nを満たすn　）をとる可能性があるんじゃないか・・と突っ込みが来そうなんです。
でも実際にはそんなことはないです。それは、
(B+1)10^m≦a_n+1から、m→∞としたときにBの値にかかわらずa_n+1→∞となりn→∞となる
そしてn→∞のときに�Bは矛盾をするのでm→∞のときに�Bは成り立たない
したがって全てのmに対して�Bが成り立つことはない
ということです。何らかの形でこれを示さないとまずい気がします。

解答すらしてない立場なのに、愚論ばかり展開して申し訳ありません。

軽率な考えでコメントしてしまってすみません。
改めて、いい勉強になりました。