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 中?高生のための数学
難易度：★
 河野真衣
2013/11/17 12:32
うちの中学生が「(He is not what he was.)」の意味がよくわからない。」と自分の英語の学力が低いことを嘆いているので、大昔に読んだ太宰治の小説を思い出して、「それは、(彼は昔の彼ならず)ということよ。英語は駄目でも数学で点数を稼げば入試は大丈夫よ。」と慰めていたとき、ふと、こんなのはどうだろう?と思った問題です。
x,yを実数とすると、 ・x+y=1 のとき、x^2+y^2 の最小値は 1/2, 最大値はありません。 ・x^2+y^2=1 のとき、x+y の最小値は -√2, 最大値は √2 です。 ・x^2+y^2=1 のとき、x^3+y^3 の最小値は -1, 最大値は 1 です。 では、 【問題】 ① |x|+|y|=1 のとき、x^2+y^2 の最小値と最大値を求めて下さい。 ② x^2+y^2=1 のとき、|x|+|y| の最小値と最大値を求めて下さい。 ③ x^2+y^2=1 のとき、(|x|)^3+(|y|)^3 の最小値と最大値を求めて下さい。
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河野真衣
回答有難うございます。 全問正解です。
河野真衣
水面策士さん、こんばんは。 ①正解です。
河野真衣
②正解です。
③はちょっと微分の知識が要るのかな。 
河野真衣
はい、お見事 ! ③正解です。
ヒミツ
回答有難うございました。答えです。
① x^2+y^2=|x|^2+|y|^2=|x|^2+(1-|x|)^2=2|x|^2-2|x|+1=2(|x|-1/2)^2+1/2 0≦|x|≦1 よって、最小値=1/2 (|x|=1/2) 最大値= 1 (|x|=0 or 1 ) ② x^2+y^2=|x|^2+|y|^2=1 |x|=sin(t),|y|=cos(t) と置くと、0≦|x|≦1,0≦|y|≦1 で、0°≦t≦90° |x|+|y|=sin(t)+cos(t)=√2cos(t-45) -45≦t-45≦45 → 1/√2 ≦cos(t-45)≦1 1 ≦√2cos(t-45) ≦ √2 よって、 最小値 = 1 (x,y)=(±1,0) or (0,±1), 最大値 = √2 (x,y)=(±1/√2,±1/√2) ③ x^2+y^2=|x|^2+y|^2=1 より、|x||y|=1/2{(|x|+|y|)^2-1} |x|^3+|y|^3=(|x|+|y|){(-1/2)(|x|+|y|)^2+3/2} |x|+|y|=a と置くと、f(a) = a{(-1/2)a^2+3/2} = (-1/2)a^3+(3/2)a ②の解より 1≦a≦√2 で、この範囲ではf(a)は単調減少 よって、最小値=f(√2)=(-1/2)(√2)^3+(3/2)(√2)=-√2+3√2/2 = √2/2 (|x|+|y|=√2) 最大値=f(1) = -1/2+3/2 = 1 (|x|+|y|=1) |
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