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河野真衣
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d=1-a-b-cとして
a^2+b^2+c^2+(1-a-b-c)^2=1 2a^2+2b^2+2c^2-2a-2b-2c+2ab+2bc+2ca=0 a^2+b^2+c^2-a-b-c+ab+bc+ca=0 c^2+(a+b-1)c+a^2+b^2-a-b+ab=0 cが実数解をもつので、判別式を用いて (a+b-1)^2-4(a^2+b^2-a-b+ab)≧0 -3a^2-3b^2-2ab+2a+2b+1≧0 3b^2+2(a-1)b+3a^2-2a-1≦0 bがこの範囲に実数解をもつので、判別式を用いて (a-1)^2-3(3a^2-2a-1)≧0 -8a^2+4a+a≧0 2a^2-a-1≦0 (2a+1)(a-1)≦0 -1/2≦a≦1 最小値-1/2 
とりあえず素直に。簡単な方法がぱっと思いつかなかったので
 
河野真衣
正解です。
 ただ、I.Tさんがおやりになった方法で「a+b+c+d+e+f+g+h=1,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2=1 のとき、aのとり得る最小値を求めなさい」という問題を解こうとしたらどうなるのかなあと思いました。 a^2+b^2+c^2+d^2=1は、原点を中心とした半径1の４次元球
a+b+c+d=1は(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)を通る(？)（なんていうのか知らないです） 対称性より、(1,0,0,0)と(1/4,1/4,1/4,1/4)を通る直線と、4次元球のa＝1でない交点のa座標がaの最小値となる。 (0,1,1,1)方向にe軸を取り、ae平面上に投影すれば、(1,0)と(1/4,√3/4)を通る直線と、原点を中心とした半径1の円を考えればいい。 A(1,0)として直線と円の交点をA,B、Bからa軸に下ろした垂線の足をCとすれば、△ABCは30°,60°,90°の直角三角形。 OA=OB=1よりOC=1/2 よってaの最小値は-1/2
幾何的に解くのは説明が大変ですね。計算量は相当減りましたが･･････
河野真衣
正解です。
昔、「数学は哲学の一部である」と聞いたことがありますが、お答えがそれを体現しているようで、私には意味がよく解りません。 
b+c+dは平面、b^2+c^2+d^2は球であるから
・a＜-1 → 解なし（球の半径が実数でない） ・-1≦a＜1/2 → 解なし（平面と球が接しない） ・a＝-1/2 → 解はb=c=d=1/2のみ ・-1/2＜a＜1 → 解は無数にある ・a＝1 → 解はb=c=d=0のみ ・1＜a → 解なし（球の半径が実数でない） よってaが取りうる最小値は-1/2。
最初に見つけた解の候補が（そうだと思っていたが）やっぱり最小値だった。
河野真衣
正解です。
お答えの上から3行目で負号が一つ落ちてませんか? b=c=d=･･･=hとなるとき、最大値と最小値をとる事がわかるので、
a+7b=1,a^2+7b^2=1 より 7a^2+49b^2=7 8a^2-2a-6=0 (4a+3)(a-1)=0より、 最大値1、最小値-3/4
No1でやるのは嫌ですね
No2を応用すれば楽ですが 
河野真衣
その通りです。
河野真衣
1/2ではありません。もっと小さくなりますよ。
題の式を変形して(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2+(d-1/2)^2 =1<br><br>よって少なくとも、-1/2 < a < 3/2 がいえる。<br><br>ここで a=-1/2 のとき、b=c=d=1/2 で問いの式を満たす。<br>したがって aの最小値は-1/2
偶然（?）に頼った
 (＜の等号は脳内補完してください )
河野真衣
偶然のような、必然のような…ですが、正解です !
変数がn個のとき、
つまり、a,b,c,… がn個あって、 a^2 + b^2 + … = 1 a + b + … = 1 のとき、 (a - (2/n))^2 + (b - (2/n))^2 + … = 1 が成り立つ。 したがって、 -1 + (2/n) ≦ a ≦ 1 (≦ 1 + (2/n)) が少なくとも成り立つ。 逆に、 a = -1 + (2/n) かつ、 b = c = … = 2/n のとき、 ３行目、４行目の式が成り立つ。 よって、 aの最小値は -1 + (2/n) No.1のように変数8個のときは、aの最小値は、 -3/4
一般解も一緒ですね
河野真衣
うまいやり方を思い付かれましたね。 変数n個のときも正解です。
回答有難うございました。答えです。
a+b+c+d=1 → b+c+d=1-a…① a^2+b^2+c^2+d^2=1 → b^2+c^2+d^2=1-a^2…② コーシー･シュワルツの不等式より (b+c+d)^2 ≦ 3(b^2+c^2+d^2) …③ (等号成立はb=c=d のとき) ①,②を③に代入→ (1-a)^2≦3(1-a^2) 移項して整理すると 2(2a^2-a-1) ≦ 0 → 2(2a+1)(a-1) ≦ 0 → -1/2 ≦ a ≦ 1 このことから、 a の最小値は -1/2 (このとき、b=c=d=1/2) 尚、コーシー・シュワルツの不等式を利用すれば、文字数が増えた場合 a+b+c+…＋h=1 , a^2+b^2+c^2+…+h^2=1 としたときの a の最小値を求める問題も簡単に答えを出すことができますね。 |
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