問１
x[n+2]=Ax[n+1]+Bx[n]
x[0]=1とする。
A,Bは実数。
x^2-Ax-B=0の二解をα、βとする。

(1)α≠βのとき。
x[n+2]-αx[n+1]=β{(x[n+1]-αx[n]}�@
x[n+2]-βx[n+1]=α{x[n+1]-βx[n]}�A
と式変形できる。
�@より
x[n+1]-αx[n]=β^n*{x[1]-αx[0]}=β^n*(x[1]-α)
同様に�Aより
x[n+1]-βx[n]=α^n*(x[1]-β)
辺々引き算すると
(β-α)x[n]=β^n*(x[1]-α)-α^n*(x[1]-β)
x[n]={β^n*(x[1]-α)-α^n*(x[1]-β)}/(β-α)

(2)α=βのとき。
(1)の途中式において、α=βとして、
x[n+1]-αx[n]=α^n*(x[1]-α)
α≠0のとき、両辺α^nで割って
x[n+1]/α^(n+1)-x[n]/α^n=(x[1]-α)/α
これは数列{x[n]/α^n}が公差(x[1]-α)/αの等差数列であることを表している。
よって
x[n]/α^n=x[0]/α^0+n(x[1]-α)/α=1+n(x[1]-α)/α
x[n]=α^n+α^(n-1)*n(x[1]-α)

α=β=0の場合は漸化式がx[n+2]=0(n≧0)だから、x[n]=0(n≧2)

問2
α≠βの実数解とき。
判別式よりA^2+4B＞0
問1より一般項は
x[n]={β^n*(x[1]-α)-α^n*(x[1]-β)}/(β-α)

α=-βのとき、すなわちA=0,B=α^2のとき。
判別式から4B＞0。
漸化式は
x[n+2]=(α^2)x[n]
x[n]は
nが偶数のときx[n]=(α^2)^(n/2)x[0]=|α|^n(n=0,2,4,…)
nが奇数のときx[n]=(α^2)^{(n-1)/2}x[1]=|α|^(n-1)x[1](n=1,3,5,…)
である。
したがって上記の数列の収束発散は
|α|＞1、すなわち√B＞1であれば偶数列、奇数列がそれぞれ発散するので不適。
|α|=1、すなわち√B=1のとき。
偶数列は1、奇数列はx[1]に収束するが、|x[1]|＞1ゆえ収束値は一致せず振動する。
0＜|α|＜1のとき、偶数列、奇数列ともに0に収束するので、x[n]→0である。
結局収束発散は
(a)A=0,0＜B＜1のとき、x[n]→0
(b)A=0,B=1のとき。
偶数列→1。
奇数列→x[1]で、x[1]≠1なら振動、x[1]=1のときのみ収束。
(c)A=0,B＞1のとき。
|x[n]|は偶数列は+∞に発散。
奇数列はx[1]≠0の場合は|x[n]|は+∞に発散、x[1]=0の場合のみ、x[n]→0。

α≠-βのとき。
これまでの条件は除外したようなA,Bの条件で考える。
このときα≠±βで、0≦|α|＜|β|としても一般性は失われない。
このとき、
x[n]
={β^n*(x[1]-α)-α^n*(x[1]-β)}/(β-α)
=β^n{(x[1]-α)-(x[1]-β)(α/β)^n}/(β-α)

|α/β|＜1であるから、(α/β)^n→0
よって
(a)-1＜β＜1のとき。
β^n{(x[1]-α)-(x[1]-β)(α/β)^n}/(β-α)→0
(b)β=1のとき。
β^n{(x[1]-α)-(x[1]-β)(α/β)^n}/(β-α)→(x[1]-α)/(β-α)
(c)|β|＞1のとき。
(x[1]-α)≠0なら|x[n]|→+∞に発散。
x[1]-α=0のとき、x[n]=-α^n(x[1]-β)/(β-α)=α^nとなるので、-1＜α≦1なら収束、x[1]=α=-1なら振動、それ以外の範囲のα=x[1]なら発散する。
(d)β=-1のとき、|x[n]|→(x[1]-α)/(β-α)だが、偶数列は(x[1]-α)/(β-α)へ、奇数列は-(x[1]-α)/(β-α)へと収束して、x[1]≠αならx[n]はこれらの間の振動、x[1]=αなら0へと収束する。

纏めると、α≠-β,αβ≠0のときは、
(a)二つの解の絶対値がともに1より小さいとき。
x[n]→0
(b)一方の解が1で、もう一方の絶対値が1より小さいとき。
x[n]→(x[1]-α)/(β-α)
(c-1)二次方程式の解のうち、両方の絶対値が1より大きいとき。
x[n]は発散。
(c-2)一方の解βの絶対値が1より大きく、もう一方αが1以下の場合。
x[1]≠αのときは発散。
x[1]=αなら、-1＜α＜1なら0に、α=1なら1に収束、α=-1なら±1で振動。
(d)一方の解が-1で、もう一方の絶対値が1より小さいとき。
偶数列は(x[1]-α)/(β-α)へ、奇数列は-(x[1]-α)/(β-α)へと収束する。
x[1]=αの場合は0に収束するが、そうでない場合は振動する。

となる。
|x[1]|＞1の任意のx[1]について成り立つ条件であるから、結局収束発散は
(1)A=0,0＜B＜1のとき、x[n]→0
(2)A=0,B=1のとき。
偶数列→1。
奇数列→x[1]≠1で振動。
(3)A=0,B＞1のとき。
x[n]は発散。
(4)二つの解の絶対値がともに1より小さいとき。
x[n]→0
(5)一方の解が1で、もう一方の絶対値が1より小さいとき。
x[n]→(x[1]-α)/(β-α)
(6)二次方程式の解のうち、両方の絶対値が1より大きいとき。
x[n]は発散。
(7)一方の解βの絶対値が1より大きく、もう一方αが1以下の場合。
|x[1]|＞1≧|α|ゆえx[n]は発散。
(8)一方の解が-1で、もう一方の絶対値が1より小さいとき。
偶数列は(x[1]-α)/(β-α)へ、奇数列は-(x[1]-α)/(β-α)へと収束し、x[n]は振動。

したがって
問2-1
α≠βの実数解のとき、0でない有限の値に収束するような条件は
(5)一方の解β=1でもう一方の解αの絶対値が1より小さいとき。
このときの条件をA,Bで書き換える。
x^2-Ax-B=0がx=β=1を解に持つので、B=-A+1。
Bを消去すると(x-1)(x-(A-1))=0でもう一方の解α=A-1になる。
ゆえに|A-1|＜1、すなわち0＜A＜2。
つまり0＜A＜2かつB=-A+1のとき、x[n]→(x[1]-α)/(β-α)=(x[1]-A+1)/(2-A)
また判別式
D=A^2+4B=A^2+4(-A+1)=A^2-4A+4=(A-2)^2
で0＜A＜2のときゆえD＞0となり、常に成り立つ。

問2-2
α≠βの実数解で、x[n]が収束しないが有限の範囲で振動するような条件は
(2)A=0,B=1のとき。
偶数列→1。
奇数列→x[1]≠1で振動。
(8)一方の解β=-1で、もう一方αの絶対値が1より小さいとき。
このときの条件をA,Bで書き換える。
x^2-Ax-B=0がx=β=-1を解に持つので、B=A+1。
Bを消去すると(x+1)(x-(A+1))=0で、もう一方の解α=A+1。
ゆえに、|A+1|＜1、すなわち-2＜A＜0。
つまり-2＜A＜0かつB=A+1のとき、
偶数列→(x[1]-α)/(β-α)=(A+1-x[1])/(A+2)
奇数列→-(A+1-x[1])/(A+2)
でx[n]は振動。

問2-3
α=βの重解のとき。
A^2+4B=0。
解を用いて表せばA=2α、B=-α^2。
α≠0なら、x[n]=α^n+α^(n-1)*n(x[1]-α)=α^(n-1)*{α+n(x[1]-α)}
α=0なら、x[n]=0(n≧2)
収束発散は
α=0のとき、すなわちA=B=0のとき。
x[n]=0(n≧2)でありx[n]→0
0＜|α|＜1のとき。
α^n→0、nα^n→0だから（証明略）x[n]→0。
α=1のとき。
x[n]=1+n(x[1]-1)だから、x[1]=1のときx[n]→1、x[1]≠1のとき、x[n]は発散。
α=-1のとき。
偶数列は-{-1+n(x[1]+1)}、奇数列は+{-1+n(x[1]+1)}であるので、x[1]+1=0の場合は±1の振動、x[1]+1≠0なら|x[n]|→+∞で発散。
|α|＞1のとき、x[n]は発散。

したがって|x[1]|＞1の任意のx[1]について成り立つようなA,Bの条件は、
A^2+4B=0において、
(1)0≦|α|＜1のとき、すなわち-2＜A＜2のとき、x[n]→0。
(2)A=2のとき。
x[1]≠1ゆえ発散。
(3)A=-2のとき。
x[1]≠-1ゆえ発散。
(4)|A|＞2のとき、発散。

問2-3
α=βの実数解のとき、x[n]が0に収束するのは
(1)-2＜A＜2かつA^2+4B=0のとき。

問2-4α≠βの実数解を持つとき。
A^2+4B＞0である。
問2で調べたことから、x[n]→0となるのは
(1)A=0,0＜B＜1のとき、x[n]→0
(4)二つの解α、βの絶対値がともに1より小さく、α≠-βのとき。
x[n]→0
これをA,Bの条件に書き換える。
A=α+β≠0
αとβはx^2-Ax-B=0の二解だから、
1-A-B＞0かつ1+A-B＞0かつ-1＜A/2＜1。
あとA≠0でA^2+4B＞0である。
整理すると
B＜-A+1かつB＜A+1かつ-2＜A＜2かつB＜-A^2/4かつA≠0。

(1)(4)あわせると
B＜-A+1かつB＜A+1かつ-2＜A＜2かつB＜-A^2/4。
これが求める条件。

これをAB平面に図示したときの面積は
(A+1)-(-A^2/4)
をA=-2からA=0まで積分したものと
(-A+1)-(-A^2/4)
をA=0からA=2まで積分したものの和であり、途中は略して結果だけ書くと4/3。

問3、虚数解を持つとき、すなわちA^2+4B＜0のときを考える。
B=0だとA^2≧0だから、少なくともB＜0。
このとき二次方程式の二解αとβは複素共役であり、
A=α+β=2Re(β)
B=-αβ=-|β|^2
ただし
|β|=√(Re(β)^2+Im(β)^2)=√(β*conj(β))
であり、
Re(β)は複素数βの実部
Im(β)は複素数βの虚部
conj(β)は複素数βの複素共役（この場合はαに等しい）
をそれぞれ表すとする。
虚数解を持つ場合は常にα≠βだから、(1)と同様の解き方を用いて一般項は
x[n]=x[1]*(β^n-α^n}/(β-α)-αβ{β^(n-1)-α^(n-1)}/(β-α)
と書ける（少し式変形した）。
ここで補１より
β=r(cosθ+isinθ)
と表すことができる。
r=|β|=√(-B)
θ=arg(β)（βの偏角）
である。
偏角は2nπの自由度があるが、ここでは0≦θ＜2πとなるようにとることにする。
このとき
A=2Re(β)=2r*cosθ
B=-αβ=-|β|^2=-r^2
B＜0ゆえr＞0、また虚数解ゆえθ≠0,πである。
この問題ではαβが複素共役だから、βの偏角θを0＜θ＜πととっても一般性は失われない。
β-α=2i*rsin(θ)
β^n=(r^n)*{cos(nθ)+isin(nθ)}
α^n=(r^n)*{cos(nθ)-isin(nθ)}
（補a-2）となるので、
β^n-α^n=2i*(r^n){sin(nθ)}
である。
したがって一般項x[n]をr,θを用いて表すと
x[n]
=x[1]*2(r^n)*{sin(nθ)}/(2rsinθ) - r^2*2{r^(n-1)} {sin((n-1)θ}/(2rsinθ)
=x[1]*(r^(n-1))*sin(nθ)/sinθ - (r^n) sin((n-1)θ) /sinθ
={r^(n-1)/sinθ}*{x[1]sin(nθ) - rsin((n-1)θ)}

0＜r＜1、すなわち0＜√(-B)＜1のとき。
r^n→0ゆえ、x[n]→0

r=1、すなわち√(-B)=1のとき。
x[n]
={x[1]sin(nθ)-sin((n-1)θ)}/sinθ
={x[1]sin((n-1)θ)cosθ+x[1]cos((n-1)θ)sinθ-sin((n-1)θ)}/sinθ
=(x[1]cosθ-1)sin((n-1)θ)/sinθ+x[1]cos((n-1))θ
x[1]とx[1]cosθ-1を同時に0にすることはできない。
x[n]=p*sin((n-1)θ)+q*cos((n-1)θ)と表せるので、三角関数の合成を用いればわかるように
x[n]=s*sin((n-1)θ+t)
とできる。
ただし
s
=√{{(x[1]cosθ-1)/sinθ}^2+x[1]^2}
=√{x[1]^2/(tanθ)^2-2x[1]cosθ/(sinθ)^2+1/(sinθ)^2+x[1]^2}
=√{x[1]^2(1+1/(tanθ)^2-2x[1]cosθ/(sinθ)^2+1/(sinθ)^2}
=√{x[1]^2/(sinθ)^2-2x[1]cosθ/(sinθ)^2+1/(sinθ)^2}
=√{(x[1]^2-2x[1]cosθ+1)/(sinθ)^2}
={√(x[1]^2-2x[1]cosθ+1)}/(sinθ)

θ=2kπ(kは整数)以外はsin((n-1)θ+t)はnによって振動する（証明略）。
今は偏角θを0＜θ＜πにとっているので、x[n]は収束しない。
ただし|x[n]|≦{√(x[1]^2-2x[1]cosθ+1)}/(sinθ)で、有限の範囲を振動する数列になる。

r＞1、すなわち√(-B)＞1のとき。
このときr^n→+∞である。
またr=1と同様に考えると
x[n]=r^(n-1)*{(x[1]cosθ-r)sin((n-1)θ)/sinθ+x[1]cos((n-1))θ}
である。
{(x[1]cosθ-r)sin((n-1)θ)/sinθ+x[1]cos((n-1))θ}
において、(x[1]cosθ-r)/sinθとx[1]の部分が同時に0になることはない。
ゆえに、やはりこの部分はnによって振動する。
θ/πが有理数なら有限個の値を周期的にとるので、|x[n]|は振動しながら+∞に発散する。
θ/πが無理数なら-1から1まですべての値を取り、|x[n]|の最大値は+∞に発散する。
したがって有限の範囲を振動することはない。

結局纏めると、x[1]によらずに、
B≠0、A^2+4B＜0で
(1)-1＜B＜0のとき。
x[n]→0

(2)B=-1（r=1）のとき。
このとき判別式D=A^2+4B=A^2-4＜0。
よって-2＜A＜2かつB=-1のとき。
|x[n]|≦{√(x[1]^2-2x[1]cosθ+1)}/(sinθ)の範囲を振動する。
これをA,Bで範囲を書き直す。
A=2rcosθ=2cosθ
D=A^2+4B=4(cosθ)^2-4=-4(sinθ)^2
0＜θ＜πより2sinθ=√(-D)=√(4-A^2)
{√(x[1]^2-2x[1]cosθ+1)}/(sinθ)
={√(x[1]^2-Ax[1]+1)}/{(√(-D))/2}
=2{√(x[1]^2-Ax[1]+1)}/(√(4-A^2))
これが{x[1]|の最大値である。

(3)B＜-1のとき。
x[n]は発散する。

問3-1
α、βが複素数であるとき、数列x[n]は収束しないが有限の範囲で振動するようなA、Bの条件は
(2)-2＜A＜2かつB=-1のとき。

問3-2
α、βが複素数であるとき、数列x[n]が0に収束するようなA、Bの条件は
(1)A^2+4B＜0かつ-1＜B＜0のとき。
すなわちB＜-A^2/4かつ-1＜B＜0のとき。

これをAB平面に図示したときの面積は
{(-A^2/4)-(-1)}をA=-2からA=2まで積分したもので、結果だけ書くと8/3。

問3-3はもう発表されているので略。

問4
B=-41の場合の漸化式
x[n+2]＝Ax[n+1]−41x[n]
で
x[0]＝1、x[1]＝1/7
の場合。

x^2-Ax+41=0の判別式
D=A^2-164

A^2-164＜0のときは複素数解で、
問3で調べたように、B＜-1ではx[1]によらずに発散する。

また重解を持つときは解|α|＞1なら発散する。
A^2-164=0のとき、解は±√41だから発散する。

したがってA^2-164＞0が必要となる。
問2で調べたように異なる実数解を持つ場合の、収束発散は

(a)二つの解の絶対値がともに1より小さいとき。
x[n]→0
(b)一方の解が1で、もう一方の絶対値が1より小さいとき。
x[n]→(x[1]-α)/(β-α)
(c-1)二次方程式の解のうち、両方の絶対値が1より大きいとき。
x[n]は発散。
(c-2)一方の解βの絶対値が1より大きく、もう一方αが1以下の場合。
x[1]≠αのときは発散。
x[1]=αなら、-1＜α＜1なら0に、α=1なら1に収束、α=-1なら±1で振動。
(d)一方の解が-1で、もう一方の絶対値が1より小さいとき。
偶数列は(x[1]-α)/(β-α)へ、奇数列は-(x[1]-α)/(β-α)へと収束する。
x[1]=αの場合は0に収束するが、そうでない場合は振動する。

であり、x[1]の値によっては収束するような(c-2)が存在する。
(c-2)一方の解βの絶対値が1より大きく、もう一方αが1以下の場合。
x[1]≠αのときは発散。
x[1]=αなら、-1＜α＜1なら0に、α=1なら1に収束、α=-1なら±1で振動。
でx[1]=α、-1＜α≦1なら収束する。
x[1]=αのときx[n]={β^n*(x[1]-α)-α^n*(x[1]-β)}/(β-α)=α^n

今与えられた漸化式においてx[1]=1/7ゆえ、二次方程式が1/7を解にもつ場合には、|α|＜1ゆえx[n]が収束する。
x=1/7を代入すると
1/49-A*(1/7)+41=0
A=2010/7
Aがこの値のとき、二次方程式の二解はα=1/7、β=287で
一般項は
x[n]=(1/7)^n
でx[n]→0となる。