(1)の証明を模索中

解答

1) 変形して　n(x+y)=xy
x<y より　n(y+y)>n(x+y)=xy ⇔　2n>x
xにn以下の数を代入すると1/y>0なので
　左辺>右辺となり解をもたない
　よってxの範囲は n<x<2n
x=n+a とおく　(aは整数で 0<a<n)
　計算して　y=n(n+a)/a 　　
　yが正の整数であるためにはn=ka　(kは整数で　0<k≦n)
　を満たしてなければならない
　a,kの組み合わせの数が解の個数なので
　解が一つのときはa,kの組み合わせが一つ
　あらゆるnでa=1 k=n のとき成り立つので、それ以外に組み合わせがないとき
　解が一つ
　したがってnは自分以外に1しか約数を持たない数なので
　nは素数

2)n=1のとき成り立つのは明らか
　n>1のとき
　1/n^2 < 1/n(n-1) = 1/(n-1)　-　1/n
A(n)=1/(n-1)　-　1/n 　の　n=2からkまでの和は　1-1/k これは1より小さいので
　B(n)= 1/n^2 の　n=2からkまでの和も1より小さい
　a=1のとき他の項が0以上なので一より大きくなる
　したがって等式が成り立つのはn=1のときのみ

(1)は、1/x＋1/y＝1/n　の両辺にxynを掛けて
ny＋nx＝xy
xy−n(x+y)＝0
xy−n(x+y)＋n^2＝n^2
(x−n)(y−n)＝n^2

であり、(x−n)と(y−n)がn^2の約数であることから示す手もあると思うっす

(2)はゼータ関数から考えれば一発なんですね…大学入試とかでこういうの使ったら駄目なのかなぁ…。
lin[n→∞]　1＋1/4＋1/9＋1/16＋1/25＋…＋1/(n^2)＝(π^2)/6　より(以下略

あとは積分を使うのも有りかな。Σ[k=2,n] (1/(k^2))＜∫₁ⁿ(1/x^2)dx＝1−1/n