ということで、全問挑戦してみました。
それにしても、かなり長くなってしまいました。

とりあえず解きました．

こんな感じでいかがでしょうか？

(1)についてですが…

↑どうも最近（といっても十数年ほど前から）"共有点" という言葉が使われ出したようで、それ以前は交点という言葉ですべて書かれていたようです。

単語の国語的な意味と、数学的に定義される用語とでは話が違うので、「国語的な意味」を考え出したら曖昧さが残ってしまうのは仕方ないと思います。
数学的用語としての「交点」という単語がどこかではっきりと定義されていればよかったのですが、ちょっと見当たりませんでした
なので、国語的な意味でしか判断できないとしたら、どちらが正しいとは言えないと思います…
現に上のお二方はkazoooさんの意図をしっかりと掴めておられているようですし、ここだけ見たら僕が少数派…

なんとも言えないです…

かなり簡潔にまとめました。

31日に答え発表しまーす。もちろん12月の。
いないと思いますが、解いていたり、やってなくて解いてみたい人がいたら、ちょっと待ってと一言コメを。

1を直しました。3も詳しく書きました。

3は流石に簡潔に書きすぎました 　

申し訳ないです

(1)　a,tを定数として、判別式D=81a^2-4ta+a>=0 (等号はあってもなくてもいいです。)
aの二次関数と考えて、判別式D/4=4t^2-4*81<=0 よって、t^2<=81 -9<=t<=9
(2) 式を変形して、y=(x-5a/2)^2-81a^2/4+ta-1
よって、最小値はx=5a/2のとき、-81a^2/4+ta-1　これが-1と等しいので、
-81a^2/4+ta-1=-1　ゆえに、a(81a-4t)=0 a≠0より、81a=4t
これをa+t=kと連立して、a=4/85k,t=81/85k　このとき、x=5a/2=2/17k
(3) t=27,y=4を代入し移項して、x^2-5ax-14a^2+27a-5=0･･･�A
P(4,p),Q(4,q)　(p>q)とおく。p,qは�Aの解なので、
解の公式から、p-q=2*(√b^2-4Ac)/2A 　A=1,b=5a,c=-14a^2+27a-5を代入して、
p-q=√81a^2-108a+20=√(9a-2)(9a-10) 　p-q=sとおいて2乗して、
s^2=(9a-2)(9a-10)=(9a-6)^2-4^2 　よってs^2+4^2=(9a-6)^2
ここでs,4は整数であるので、9a-6は無理数か整数である。aは有理数なので、9a-6は整数。
三平方の定理にあてはめて考えると、s,4,±(9a-6)は一組のピタゴラスの数である。
よって、s=3,9a-6=±5　ゆえにa=1/9,11/9
一応:ピタゴラスの数･･･三平方の定理を満たす3つの自然数の組み合わせ
　　　証明の下から4行目　(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2でX=9a-6,Y=4
意見、質問、文句などあったらぜひコメントしてください。
解いてくださった方有難う御座いました。
駄文ですが、きれい？な解を持たせるのにすごい苦戦しました。
問題の内容考えるのの二倍くらいかかった・・・