とりあえず答だけです.

回答者が一人しかいないので、一応ヒントを載せます。見るときは反転させてください。
ヒント1:座標空間を導入しましょう。
ヒント2:例えばDは、A,B,Cからの距離がそれぞれ3,√2,√3である点となります。

座標空間を導入する。
原点にA,x軸上の正の位置にB,xy平面上のy座標が正の位置にC,z座標が正の位置にDがくるようにする。
このときA(0,0,0),B(2,0,0)
また、Cは中心がAで半径が4の円と、中心がBで半径が2√2の円との交点である。
よって、Cのx座標、y座標をそれぞれC_x,C_y とすると、
C_x²+C_y²=4²

(C_x-2)²+C_y=(2√2)²

これらを連立して解くと、C_x=3,C_y=√7
∴C(3,√7,0)
Dは中心がAで半径が3の球と、中心がBで半径が√2の球と、中心がCで半径が√3の球との交点である。
よって、Dのx座標、y座標、z座標をそれぞれD_x,D_y,D_z とすると、
D_x²+D_y²+D_z²=3²

(D_x-2)²+D_y²+D_z²=(√2)²

(D_x-3)²+(D_y-√7)²+D_z²=(√3)²

これらを連立して解くと、D_x=11/4,D_y=(11√7)/28,D_z=(√70)/14
∴D(11/4,(11√7)/28,(√70)/14)
(1)
ABの中点の座標は、(1,0,0)
CDの中点の座標は、(23/8,(39√7)/56,(√70)/28)
よって、この二点間の距離は、
√((23/8-1)²+((39√7)/56)²+((√70)/28)²)=√7

(2)
この四面体の体積は、
AB*C_y*1/2*C_z*1/3

=2*√7*1/2*(√70)/14)*1/3
=(√10)/6
(3)
この四面体の外接球の式をx²+y²+z²+ax+by+cz+d=0とおく。
点A,B,C,Dがこの球面上にあるので、
d=0
4+2a+d=0
9+7+3a+√7b+d=0
121/16+121/112+5/14+11/4*a+(11√7)/28*b+(√70)/14*c+d=0
この連立方程式を解いて、
a=-2,b=-(10√7)/7,c=(3√70)/35,d=0
よって、求める方程式は、
x²+y²+z²-2x-(10√7)/7*y+(3√70)/35*z=0
(x-1)²+(y-(5√7)/7)²+(z+(3√70)/70)²=47/10

よって、求める半径は(√470)/10