これはある本に載っていた問題ですが、その本には答えが書いてありませんでした。
そこで、自分なりに答えを考え出題してみることにしました。
最短距離が私の用意した答えより大きくなる場合には、感服メダルを進呈します。
最短距離が私の用意した答えと同じ場合には金メダル。
最短距離が私の用意した答えより短い場合は不正解とします。

位置の指定の仕方は、分かればなんでもいいのですが、一例を書いておきます。
天井の正方形をＡＢＣＤとします。
真上から見たとき、ＡＢＣＤと重なる床の点をＥＦＧＨとします。
四角形ＡＢＣＤ内の点（α，β）と書いたとき、
直線ＡＢからの距離がαで、直線ＢＣからの距離がβである点を表すものとします。
（直線ＡＢをＹ軸、直線ＢＣをＸ軸とする座標系による座標です）
蜘蛛が四角形ＥＦＧＨ内の点（５，５）におり、
蟻が四角形ＢＦＧＣ内の点（０，７）にいたとき、
蜘蛛の移動距離は１３となります。
---
例のところの四角形ＡＢＣＤ内の点(５，５)とあったのは、
四角形ＥＦＧＨ内の点の間違いでしたので、書き直しました。

これしか思いつきません。

深く考えていません。

ちなみに見方が違っていなければ、
例の四角形ＢＦＧＣ内の点（０，７）は天井から１３の距離なので移動距離はもっと大きくなるような…
四角形ＢＦＧＣ内の点（０，１３）あるいは、ＦＢＣＧ内の点（０，７）のつもりでしょうかね。

うーん…
細かいことは後ほどですが、まず第一感です

↑あ… …あ…
計算ミス発見
「検証中」と返信いただいてましたので、こちらの方も恐れ入りますがご確認お願いしますm(__)m

じゃないのかなあ…

もう一度チャレンジ！

さっきより長くなったっぽいからリベンジ！

少し伸びたはず

例で四角形ＥＦＧＨが四角形ＤＥＦＧになってしまっています。

わーかーらーなーいー・・・です

これでいいのかなぁ

さっきのは途中で計算ミスで半端な値になってました。

セカンドインプレッションです
とりあえず、ありきたりなところから

単純に

もうすっかり√の計算方法忘れた^^;;

これが最大になると思うんですが。

少なくとも29.15よりは・・・

こっちが最短だった。でもまだ、29.15超えてる。

ルート計算はミスディレクション？
シンプルに…。

初めまして、今晩は
数学は大変ニガテで、単に直感でお答えしました

少しだけ数学的に考えてみましたけど、
まだこれが最大な自信はありません

とりあえず、直感で

うーん。

既出だと思いますが、確認のため・・・

ボケます

これだと、約２９とか約３０とかがどーでもいい話になりますが

単純に考えてみました

面白かったです。
みんなに試そう。
…あ、違うかコレ
でもとりあえず…送信。

少し難しく考えてみました

そのルートを忘れていました
今度はかなり伸びましたがどうでしょう。

質問を囁きます

リベンジします

村の地図作成にまだ悩んでいる最中ですが先ほどこの問題を見ましたので
先ずは直感で回答します。

詳細検討は後ほど行います。

皆様のコメントを拝見して…
普通に思いついたのはこれ（囁き）ですが、全然ちがうようですネ。
でも、これより長いの…思いつきません。（正解発表を待ちますぅ ）
（問題文の「一定の速さで…」っていうのは無視して考えました。 ）

多数のご参加ありがとうございます。
天井の中心と床の中心で、移動距離３０という回答を沢山いただきました。
しかし意外なことに、これより長い移動距離になる場合があるのです。

これが最大…

単純過ぎますかねえ

それでは正解を発表しちゃいましょう。

蜘蛛と蟻の位置は、
四角形ＡＢＣＤ内の点（５√３−５，５√３−５）と、
四角形ＥＦＧＨ内の点（１５−５√３，１５−５√３）
このとき蜘蛛の移動距離は２０√（４−√３）≒３０．１２
となります。

経路の対称性等を考えると、蜘蛛と蟻の位置は、
四角形ＡＢＣＤ内の点（α，α）と、
四角形ＥＦＧＨ内の点（１０−α，１０−α）
と予想できます（ここがちょっと怪しいところですが）。
（０≦α≦５）

すると最短経路の候補が３つ考えられ、それぞれの距離の二乗はαについての二次式になります。
その３つの値の大小を比較し、３つの値の最小値が最大となるαを見つければよいです。
グラフを書けば一目瞭然でしょう。
α＝５√３−５のときに最短経路の距離が最大になります。

↑経路の対称性を考えると…
は確かに怪しいですよね
少なくとも正方形の対角線上で互いが直方体の中心について点対称な位置では、この点が最大なのはすぐに分かるのですが
対角線を外すか点対称な位置を外すかしても、最短距離が30より大きな場所はおそらく存在すると思いますが、この距離を超えるかどうかまでは分からず…

難しいことはよく分かりませんので作図ソフトで地道に作業していました
微妙にずらしながら試行錯誤した結果、
天井と床の中心を（0,0）として、床（1.342,1.342）天井（-1.342,-1.342）
この時 √（27.316^2+12.684^2）≒30.12
ここまでは辿り着きましたが、ミリ単位で届きませんでしたね
恐らく対角線上から外れると何れかの方向に近づいてしまい、ダメになるような気がします。

じゃ、おいらの答えの６０にしちゃいましょう・・・ ＼ 　こらこら！！

片方が対角線ならもう片方も対角線にするのがおそらく最適と思いますが、両方対角線からずれた位置にいる場合はどうなんでしょう？

昨日紙に書いて少し考えを進めてみたところ、計算間違いがなければ、とりあえず二箇所が点対称な位置なら、対角線に乗っかっているのが一番いいとの結果に達しました（ただし計算間違いの可能性と、長方形部分三枚通過する経路を考慮していませんが…

というわけで、もしいはらさんが用意している解答の距離を超えうる地点が存在するとすれば、点対称な関係から外さなければならない可能性が出てきます
（つまり一般的に考える必要が出てくる…orz

僕の考えですが、対称性の高い位置にいてるのはたまたまな気がします…
…がその自信もないし、かといって対称性の高い位置で探したくなる気がするのはどうしてか、理由付けもできないし…

この問題、ちょくちょく考えているのですが未だに結論が出ません。
計算が面倒で、私の計算能力では無理そうです
今までに考えたことをちょこちょこ書いていきたいと思います。
とりあえず、蜘蛛と蟻が天井と床にいる必要があることを示します。

蜘蛛と蟻が同じ面内にいてはいけないことは明らかですね。
蜘蛛と蟻は隣接する壁面にもいません。
蜘蛛が壁面の一つにおり、蟻がそれに隣接する壁面の一つにいるとすると、
蜘蛛と蟻が２０×２０の正方形内に収まるように展開図を描くことができます。
よってこのときの蜘蛛の移動距離は２０√２（≒２８．２８）以下となり、最大にはなりません。

蜘蛛が天井におり、蟻が壁面のどれかにいる場合を考えてみます。
天井の正方形をＡＢＣＤとします。
この部屋を真上から見て、天井と床の正方形が重なって見える状態を考えます。
蜘蛛は正方形ＡＢＣＤの内部、蟻は辺ＢＣ上に見えると考えてよいです。
蜘蛛の位置をＰとし、ＰからＡＤに下ろした垂線の足をＨとします。
ＰＨが２以上のとき、Ｐと直線ＢＣの距離は８以下です。
線分ＢＣを共有するように、天井と蟻のいる壁面の展開図を描くと、
蜘蛛と蟻は１０×２８の長方形の内部に収まります。
蜘蛛の移動距離はその長方形の対角線の長さ以下になりますので、
√（１０＾２＋２８＾２）＝√８８４以下となります。

ＰＨが２以下のときを考えます。
線分ＢＣ上で蟻の見える位置をＱとします。
天井の３辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤの部分に切り込みを入れ、床は切り捨てます。
蟻のいる壁面のＱにあたる部分に切り込みを入れ、切り開きます。
Ｑは左右に分かれますが、右の方をＱ’としましょう。
ＱＱ’の長さは４０ですので、ＱＨまたはＱ’Ｈのどちらかは２０以下です。
従って、蜘蛛と蟻は２０×２２の長方形内に収まることになります。
よって蜘蛛の移動距離は、√（２０＾２＋２２＾２）＝√８８４以下となります。

√８８４≒２９．７３ですので、蜘蛛の移動距離は最大にはなりません。
これで、蜘蛛と蟻は隣接する面にはいないことが分かりました。

次に、蜘蛛と蟻が隣接していない２つの壁面にいる場合を考えてみましょう。
再び、この部屋を真上から見た状態を考えます。
天井の正方形ＡＢＣＤの辺ＡＤ上に蜘蛛が、辺ＢＣ上に蟻が見えるとしてよいです。
蜘蛛の見える位置をＨ、蟻の見える位置をＱとし、先程と同じように切り開くと、
蜘蛛と蟻が２０×２０の正方形内に収まることが分かります。
よって、この場合も蜘蛛の移動距離は最大にはなりません。

以上で、蜘蛛と蟻は天井と床にいなければいけないことが分かりました。
どちらかが辺上にいる場合は、隣接する面にいることになりますので、
どちらも辺上にいないことも分かります。

続きはまた気の向いたときに。

---
一つ書き忘れていましたので追記します。
展開図上で蜘蛛と蟻を結ぶ線分が天井、壁、床以外の場所を通ることがありますが、
これは、上の議論を無効にするものではありません。
しっかり説明しようとすると面倒なので簡単に。
天井、壁、床以外の場所を通っているところに注目すると、天井、壁、床の辺の一部とで直角三角形をなしています。
この斜辺の部分は天井、壁、床の辺を通る経路に置き換えることができ、経路の長さは必ず短くなります（三角不等式より）。
よって蜘蛛の移動距離は元の線分より短いことになり、上の議論は有効となります。

↑考察ご苦労様です

正方形内で考えるなら、座標の置き方は(x,x+y)のように置く方がいいかもしれません。
y=0となったときが対角線上に最大の解が存在するということですので、解析的に考えていくならその方が考えやすいかも…
No.40の「二箇所が点対称なら…」は(x,x+y)で考えていきました。

↑そうですね 一般化で考えるときは少し注意が必要ですね。
点対称な位置の場合は、対角線を通る平面について対称性があるので少し楽に考えられます。
僕の場合対角線の交点を原点(0,0)に考えました。
そのときは0≦x<5,0≦y<5-xの範囲設定でいけると思います。

あとは考えられるルートの距離をx,yの式で表して…
どれが最短になるかを比較して…

という手順でいきました。
その結果、長方形部分を一枚通るルートと、長方形部分を二枚通るルートが候補に残ったんだと思います。
二つともyを定数と見たときにxの二次関数になるのですが、どちらも下に凸で0≦x<5において交点を持つ。
交点のところのxの値をとれば、距離を最大にできるのですが、その値はy=0のときに最大になる。
だから点対称ならy=0、つまり対角線上だ（実際はy=0で最大をとるxも定まりますが ）、という議論だったと思います。

時間があれば点対称の場合について、紙の上でもう一度考えてみます

X-Y座標平面を考え、直方体の展開図の一部を書き込みます。
床として、(-5,5),(-5,-5),(5,-5),(5,5)を頂点とする正方形を書きます。
正方形の中心は原点Oです。
側面の一つとして、(-5,25),(-5,5),(5,5),(5,25)を頂点とする長方形を書きます。
天井として、(-5,35),(-5,25),(5,25),(5,35)を頂点とする正方形を書きます。

蜘蛛の位置として床の正方形内に点Pをとります。
蟻の位置として天井の正方形内に点Qをとります。
天井の中心(0,30)をO'とします。

ベクトルOPをp、ベクトルO'Qをqで表すことにします。
さらにベクトル(x,y)を複素数x+yiと同一視します。
OQ=OO'+O'Q=q+30i
です。

この図に(5,25),(5,5),(15,5),(15,25)を頂点とする側面を書き加えます。
この側面に隣接するように床面を書き加えると、
その頂点は、(5,5),(-5,5),(15,-5),(15,5)
これは最初に書いた床の正方形を点(5,5)の周りに90度回転させたものになります。
原点を中心とした90度の回転はiを掛けるのと同じですので、
i(p-(5+5i))+5+5i=ip+10
がPの位置に対応します。
次の側面について考えると、Pの位置は-ip+20となります。
以下同様に考えていくと、一般に整数mを使って
P(m)=(i^m)p+10m
と表せることが分かります。

天井については、点(5,25)を中心に-90度回転させたものになります。
原点を中心とした-90度の回転は-iを掛けることに相当します。
よってQの位置は、
-i(q+30i-5-25i)+5+25i=-iq+5+5i+5+25i=-iq+10+30i
一般に整数nを使って、
Q(n)=((-i)^n)q+10n+30i
と書けます。

P(m),Q(n)間の距離は、
|(i^m)p+10(m-n)-((-i)^n)q+30i|=|(i^m)p+10(m-n)-30i-(i^(-n))q|
この距離はP(m),Q(n)を原点の周りに同じ角度だけ回転させても変わりません。
よってi^nを掛けても距離は変わらず、
|(i^m)p+10(m-n)-30i-(i^(-n))q|
　=i^n|(i^m)p+10(m-n)-30i-(i^(-n))q|=|(i^(m+n))p+10(m-n)i^n-30i^(n+1)-q|
と等しくなります。
つまり、Q'から(i^(m+n))p+10(m-n)i^n-30i^(n+1)で表される点までの距離に等しいことになります。
(Q'はOQ'=O'Qとなるようにとった点であり、床の正方形内の点になります)

|m-n|<3のときのみを調べれば十分で、|m-n|=0,1,2のそれぞれに対して4つの点が考えられます。

m-n=0のとき　
　 p-30i　
　-p+30　
　 p+30i　
　-p-30　
m-n=1のとき　　m-n=-1のとき
　 ip+10-30i　　ip+30-10i
　-ip+30+10i　 -ip+10+30i
　 ip-10+30i　　ip-30+10i
　-ip-30-10i　 -ip-10-30i
m-n=2のとき　　m-n=-2のとき
　-p+20-30i　　-p+20+30i
　 p+30+20i　　 p-30+20i
　-p-20+30i　　-p-20-30i
　 p-30-20i　　 p+30-20i

Pに応じて、上記20個の点が決まります。
その20個の点からの距離がすべて２０√（４−√３）より大きくなるような点が正方形内にないことを示せば、２０√（４−√３）が最大値であることが証明できます。
つまり、どのようにP,Qを選んでも、Q'からの距離が２０√（４−√３）以下となる点が上記20個の中に少なくとも一つあることを示せばよいのです。

P(α,β)としたとき、上記20個の点の座標は次のようになります。

1. ( α 　, β-30)
2. (-α+30,-β)
3. ( α　 , β+30)
4. (-α-30,-β)

5. (-β+10, α-30)　13.(-β+30, α-10)
6. ( β+30,-α+10)　14.( β+10,-α+30)
7. (-β-10, α+30)　15.(-β-30, α+10)
8. ( β-30,-α-10)　16.( β-10,-α-30)
　
9. (-α+20,-β-30)　17.(-α+20,-β+30)
10.( α+30, β+20)　18.( α-30, β+20)
11.(-α-20,-β+30)　19.(-α-20,-β-30)
12.( α-30, β-20)　20.( α+30, β-20)

蜘蛛の移動距離が最大となるようなP,Qについて少々考察します。
(この考察が後々役に立つかどうかは不明です)
その条件を満たすときの、上記20個の点のうちQ'に最も近いものの一つをLとします。
点Lと他の19個の点を線で結び、それぞれの垂直二等分線を引きます。
一つの垂直二等分線により、平面全体が２つに分割されますが、
点Lを含む方の領域の方に点Q'が含まれることは明らかです。
（境界線はどちらの領域にも属するとします)
各々の垂直二等分線によって分割された領域のうち、点Lを含む方の領域全体の共通部分を考え、
さらにその領域と正方形の共通部分を考えます。
その領域は点Q'を含む凸多角形になります。
この領域内の点と各19個の点との距離は、いずれもLとの距離より大きくなることは明らかです。
よって、Q'はこの領域内で最もLから遠い点、多角形の頂点の一つということになります。
Q'が正方形の辺上にないことは既に示しましたので、Q'はどれか２つの垂直二等分線の交点ということになります。
つまり、20個の点のうち少なくとも３つはQ'からの距離が等しいというわけです。
蜘蛛が蟻に向かう経路として、少なくとも３つの経路があるということです。

次に、上記20の点のうち、1,3,10,12,18,20に注目すると･･･
はい。本日はここまで。続きはまたいつか。

---
Qの表記におかしなところがありましたのでQ'に改めました。

場違いだとは思いますが気になったので書きました
このサイトに参加するのは今日が初めてなのでここに書くことしか
思いつきませんでした・・・
すみません
あとこの様な場合どうすればいいのかもできたらおしえてほしいです
新参者ですがこれからよろしくおねがいします。

前回は、
20個の点のうち、1,3,10,12,18,20に注目すると･･･というところで終わっていました。
これらの点は(α、β)を基準にすると、固定点ですね。
部屋を回転すれば、α≧０、β≧０とできますので、今後はこの条件で考察します。

また、£＝２０√（４−√３）と定義します。
上記６個の点からの距離がすべて£より大きくなる領域を調べてみます。

その領域は、次の４つの点を頂点とするひし形のような領域の内部になります。
（α−３０＋√(£²−400)，β）

（α−１５＋√(１３５−４０√３)，β＋２５−√(１２１５−３６０√３))
（α−１５＋√(１３５−４０√３)，β−２５＋√(１２１５−３６０√３))

（α−√(£²−９００)，β）

小数で表すと大体次の値になります。
(α−７．４８,β)
(α−６．８９,β＋０．６８)
(α−６．８９,β−０．６８)
(α−２．６８,β)
Q'はこの領域と正方形の共通部分に含まれる必要があります。

次に20個の点のうち、1,3,4に注目します。
この3点を頂点とする三角形は上記の領域を含みます。
この三角形の外接円の半径が£以下のとき、
Q'から3点までの距離の少なくとも一つは必ず£以下になります。
具体的に外接円の半径を求めてみましょう。

外心は三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。
ここでちょっとおさらいです。
異なる２点(α₁,β₁),(α₂,β₂)を通る直線の方程式は、

(β₁-β₂)(x-α₁)-(α₁-α₂)(y-β₁)=0

と書けます。

異なる２点(α₁,β₁),(α₂,β₂)を両端とする線分の垂直二等分線の方程式は、

(α₁-α₂){x-(α₁+α₂)/2}+(β₁-β₂){y-(β₁+β₂)/2}=0

と書けます。

同一直線上にない異なる３点(α₁,β₁),(α₂,β₂),(α₃,β₃)を頂点とする三角形の外心を(x,y)とすると、

(α₁-α₂){x-(α₁+α₂)/2}+(β₁-β₂){y-(β₁+β₂)/2}=0

(α₁-α₃){x-(α₁+α₃)/2}+(β₁-β₃){y-(β₁+β₃)/2}=0

を満たします。これをxについて解くと、

x={β₁(α₂²-α₃²)+β₂(α₃²-α₁²)+β₃(α₁²-α₂²)+(β₁-β₂)(β₂-β₃)(β₃-β₁)}

　÷2{β₁(α₂-α₃)+β₂(α₃-α₁)+β₃(α₁-α₂)}

同様に、

y={α₁(β₂²-β₃²)+α₂(β₃²-β₁²)+α₃(β₁²-β₂²)+(α₁-α₂)(α₂-α₃)(α₃-α₁)}

　÷2{α₁(β₂-β₃)+α₂(β₃-β₁)+α₃(β₁-β₂)}

これはテストに出ますよ！(嘘 )。

点1,3,4の外心(x,y)を求めると、x=-15+(15²-β²)/(α+15)、y=β

となります。外接円の半径をrとすると、r²={(α²+30α+β²)/(α+15)}²+30²

r²＜£²となるような(α,β)は問題の条件を満たしません。

{(α²+30α+β²)/(α+15)}²＜£²-30²

α≧０、β≧０ですので、左辺の{}の中は０以上、
£＞３０ですので、右辺も０以上です。

よって、(α²+30α+β²)/(α+15)＜√(£²-30²)

k=√(£²-30²)とおいて変形すると、{α-(k-30)/2}²+β²＜(k/2)²+15²

よって(α,β)は中心(k/2-15,0)、半径√{(k/2)²+15²}の円の内部ではないということになります。

大体の小数で表すと、中心(-13.66,0)、半径15.06の円の外部です。

また、(α,β)が最短経路の端点となるならば、(β,α)も最短経路の端点となることは明らかです。
従って、
上記の領域を直線y=xについて対称移動させた領域(円の内部)も問題の条件を満たしません。
これでかなりの領域が除かれました。

こんな感じで領域を絞っていくことができますが、完全解決には至っていません。
この続きを書くかどうかは分かりません。

中途半端な状態で申し訳ありませんが、ロックさせていただきます。
完全解決された方は別のスレで構いませんので、ご報告いただけると嬉しいです。