 nothing ( No.31 ) |
- 日時： 2011/08/29 15:06
- 名前： 宇奈月
- 正解を発表します。
a=b+ci (b,cは実数、iは虚数単位)として計算すると、
((b+ci)^2-2)x^2+2(b+ci)x+2=0
(b^2-c^2+2bci-2)x^2+(2b+2ci)x+2=0
xが実数のとき、iを含むかどうかで左辺の実部、虚部を判断することができます。
左辺の実部=(b^2-c^2-2)x^2+2bx+2
左辺の虚部=2bcx^2+2c=2c(bx+1)
実部、虚部がそれぞれ0にならなくてはいけません。
虚部=0から、c=0またはbx+1=0
c=0の場合はaは実数となります。
係数が実数の二次方程式の場合は判別式によって実数解の個数を判別することができます。
但し、x^2の係数が0となる場合は二次方程式になりませんので、別途調べる必要があります。
x^2の係数が0になるのは、a=√2,-√2のときだけです。
2ax+2=0より、x=1/√2,-1/√2となります。
この場合、ただ一つの実数解であることは明らかです。
x^2の係数が0でない場合、判別式/4=a^2-2(a^2-2)=4-a^2となります。
実数解が一つのときは判別式=0ですので、aは2と-2です。
a=2のとき、(a^2-2)x^2+2ax+2=2x^2+4x+2=2(x+1)^2=0となり、x=-1が解です。
a=-2のとき、(a^2-2)x^2+2ax+2=2x^2-4x+2=2(x-1)^2=0となり、x=1が解です。
bx+1=0の場合
b=0だと1=0となってしまいますのでb=0ではありません。
よって、x=-1/bです。
これを、左辺の実部=0の式に代入しますと
(b^2-c^2-2)/(b^2)-2+2=0
(b^2-c^2-2)/(b^2)=0
よって、b^2-c^2-2=0です。
元の方程式は2bcix^2+(2b+2ci)x+2=0と書き直せます。
これを変形すると、2(bx+1)(cix+1)=0となります。
c=0でない場合はx=-1/ciがもう一つの解です。
これは実数ではないので確かに実数解が一つだけとなります。
b^2=c^2+2,c^2≧0ですので、b^2≧2であり、b≦-√2,b≧√2です。
b≦-√2のとき、-b≧√2であり、0＜-1/b≦1/√2
b≦√2のとき、-b≦-√2であり、-1/√2≦-1/b＜0
よって、-1/√2≦x＜0,0＜x≦1/√2となります。
以上より求める集合は、-1,-1/√2以上0未満の実数、0より大きく1/√2以下の実数、1を要素とする集合となります。
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