 pc ( No.34 ) |
- 日時： 2010/02/16 12:31
- 名前： ゲーデル
- ＞この無駄に長い（私のせいです）問題を、ここまで見てくれていた皆様
＞特にレスしてくれた皆様へ
私が大きく勘違いしていた場所がありました。大変申し訳ありません。 
ただ、それにしても結果的には、よくある質問は古典論理で表す限り、
間違ってる事になります。 
ボムボムさんやその他多くの皆様のご指摘通り、
確かに、>>9では、
＞命題Ｐ：「門Ｂが天国の門か」と聞かれる
＞命題Ｑ：「はい」と答える
＞とした時、私は、「Ｐ→Ｑ」が真か偽か、と質問されたと判断しました。
としています。この時は、問題点をわかりやすく、簡単のためにするため
誤解の恐れがあると思いながらも、このようにしていました。
ですが、本質は捉えている、と（書いている時は）考えていました。 
つまり、>>29に対するレスをするまで、古典論理の範囲で表すと、
大枠でＰ→Ｑである、という>>9の考え方が本質をついている、と考えていました。
しかし、この問題を考えるうちに、私の頭も少しスッキリしてきて、
どうやら↑の解釈の仕方が本質的に間違っているかもしれない、と思い至りました。 
以下、説明です。（結構ややこしいことになってます。）
-------------------------------------------------------
わたしが質問C「質問Aにたいして、Bと答えるか？」
という質問を、門番にすることを改めて考えます。
この質問Cに対して、古典論理の範囲で門番が頭に描いたと思われる論理式を、
もう少しキチンと表現しようと思います。 （結構端折ってはいますが・・・)
以下は"あくまでも"古典論理"の範疇で、質問Ｃを定式化してみよう！という話です。
・Aの質問とは、ある命題(つまり、自由変数を含まない論理式(以下、論理式))の
真・偽を尋ねることです。（あくまでも「はい」「いいえ」と答える質問です。）
言いかえれば、回答者がある前提からのみで、論理的に論理式A'を証明できる時、
「はい」と答えることを期待します。
・Aの質問は、論理式A'に自明な一対一の対応をします。
区別するため、論理式は常に「'」をつける事にします。
逆に、論理式A'から、Aの質問を作る時は、「'」をはずすことにします。
・回答者が前提(常に真)のみから論理的に論理式X'を証明できる時、P(X')とします。
つまり、P(X')とは「X'が真である」ことを意味します。
・「正直に」答える、という定義は、P(X')の時「はい」と答え、
P(￢X')の時「いいえ」と答えることです。
・質問者と回答者が存在するときに限り、質問者が質問でき、回答者が回答できます。
回答者がAという質問に回答した答え（「はい」or「いいえ」)を、F(A)とします。
・回答者が正直者であれば、F(A)=「はい」とは、P(A')と同値です。また、
F(A)=「いいえ」とは、P(￢A')と同値です。
・関係E(x,y,X)を、「質問者xが、回答者yに質問Xを質問する」という関係と定義します。
つまり、質問者xが回答者yにXを質問したなら「真」、質問しなければ「偽」です。
関係E(x,門番,X)を、E(x,X)とします。
・門番に対して質問者になりえる人間の集合を【質問可能者】とします。
つまり、
「(∃x)(x∈【質問可能者】∧ E(x,A) ∧ F(A)=「はい」)」・・・・①
というのが、
「質問Aに対して、門番が「はい」と答えるか？」、つまり、
「質問者xの質問Aに対して、回答者である門番は「はい」と答えるか？」
に対応する論理式（っぽいもの）です。
（最終訂正に近いかも。とか言いながら少し訂正  ）
→を∧に変更。（良かったのかな・・・？）
Eは、質問者x,論理式X(ここではA)に依存します。
Fは、論理式X(ここではA)に依存します。
別に(∀x)としてもいいですが、
その場合、誰に対しても「はい」と答えますか？
という質問になるのですが、門番は真偽の決まっている質問に対しては誰に対しても
「はい」か「いいえ」のどちらか一方のみを答えることが前提ですので、
(∃x)と変わりません。(∃x)の方が門番にとっては示しやすいでしょう。
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問題は、∃x のスコープ（範囲）が、最後までかかっているということです。 
となると・・・質問できる人がいない場合、
正直者は常に「いいえ」と答えないといけませんね（汗
問題文だと、「はい」と答えてますので、死刑です
逆に、嘘つきだと常に「はい」と答えることになります。
【質問可能者】に問題文の「あなた」は入りますので、
【質問可能者】は空集合ではありません。
（なぜなら、前提により、１回という制限はありますが、門番に質問可能な人間だから）
ただし、その回数制限のせいで、E(A)は偽とならざるを得ない、という
感じでしょうか。だから、質問文Cに対応する論理式C'は「偽」となり、
門番は「いいえ」と答えなければ死刑です。
Ｐ→Ｑとは本質的に違うところを論じていることになります（汗
本質は、
「～と質問する人が存在するならば、・・・である」←わたしがずっと勘違いしてた
ではなく、
「～と質問し・・・と答える、質問をする人が存在する」←どうやらこっちが正しい
ということです。（わかりにくいかも）
良くある質問を大まかにですが、キチンと定式化したことで、自分の中では
結構スッキリしました。 
追記：
結局、「「右の道は天国ですか？」と聞いたら、「はい」と答えますか？」で
うまくいくとする、肝の部分は、
F(F(X))=「はい」が、P(X')と同じことだ
ということに尽きます。
ただ、１回しか質問できない、という条件を見て、関数Fを２回使っていることに
疑問を抱く人は、少なからずいると思います。（実際、この質問に対してなんとなく
納得のいっていない人は、いるはずです。）
その納得のいかない人を説得するには、質問文に対応する論理式を作ってみることが
一番楽なのですが、それが結構うまくいかないんですよね。
良くある解説では、F(F(X))=「はい」がP(X')と同じことを説明していますが、
Fを２回使っていることに対して納得いっていない人にとっては、効果なしです。 
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