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算数/数学クイズ答え

Q42の答え

(1)132回
(2)実用に足る

正解者
waai
水時計さん PDJさん

解説

=====出題者より=====

【解答】
(1)132
(2)解答例(納得のいくものであれば何でも可)
長針と短針のどちらが上にあるか(重なり合ったときにどちらが上になるか)を把握しておけば、時刻は常に特定できるので実用に足ると考えられる。上にある針が長針か短針かは、時計を1分間眺めていれば分かる。

【解説】
長針は短針の12倍の速さで進みますので、
午前0時に針がそろってからの長針の位置は、
短針が進んだ角度の12倍の角度のところにあります。
つまり短針の進んだ角度をa度、長針の進んだ角度をb度とすると、
 12a=b ……@
となります。

ところで、どちらか一方の針の角度の12倍のところにもう一方の針があって、さらにその針の角度の12倍のところに最初の針があるという場合は、長針と短針の区別ができなくなってしまいます。
すなわち、
 12b=a+360×n(nは正の整数) ……A
となるときです。

@、Aより、
 a/360=n/143 ……B
という関係が成り立ちます。

ここで、aは0以上、360以下(短針は午前0時から正午までに1回転)なので、左辺は0以上、1以下となり、Bを満たすnは144個(n=0を含む)あります。
ただし、nが0のとき(午前0時)、nが143のとき(正午)、また、それ以外で午前0時から正午の間に長針と短針が重なる10回については、@とAを満たす場合でも時刻は分かります。
したがって、144から上記の12回を除いた132回、
時刻の判断できない場合があります。
(実際にはこんなに厳密に角度を測ることなどできないと思いますが)

===============

◆PDJさんの解答

問1のこたえ

132回(66組) でいかがでしょうか。

説明

X時Y分とP時Q分が区別がつかないとします
(0<=X<12,0<=P<12,X<>P,0<=Y<60,0<=Q<60,XおよびPは整数)。
12時の位置からの角度を考えます。
X時Y分の場合、長針は(6Y)°、短針は(30X+Y/2)°となります。
P時Q分の方は、長針は(6Q)°、短針は(30P+Q/2)°となります。

30X+Y/2=6Qより、Q=5X+Y/12
これを30P+Q/2=6Yに代入すると、30P+(5X+Y/12)/2=6Y
Y=60*(12P+X)/143となります。
0<=Y<60なので0<=60*(12P+X)/143<60、すなわち0<=12P+X<143。

X、Pは整数なのでこれを満たすX、Pの組の数を数えます。
(X、PがきまればY、Qも一通りに決まります。
X=PであればY=Qにもなり、同時刻ですから除きます。)
(X,P)=(0,1),(0.2),,,,(0,11),(1,0),(1,2),,,,
0から11までの各Xに対してPは11とおりありますので、12*11=132

ただ、たとえば(0,1)と(1,0)は時刻の組としては同じものですから、
組としては 132/2=66

問2はなんともいえません。
誰でもおおまかな時刻はわかりますから、区別がつかない時刻があっても、だいたいわかると思います。またみた瞬間はわからなくても、2・3分たてば判明するのではないでしょうか

◆水時計さんの解答

水時計です。私がこの時計の問題を解かないわけに行かない
でしょうということで、解答します。(笑)

この問題文では少し条件不足なのですが、
勝手に次の2つの条件を加えさせていただきました。

1.時計は完全なアナログ時計である。
(ちょうど1分経たないと長針が動かないタイプでなく、
秒単位で経過した時間に比例した動きを見せる。)

2.上下左右の見分けはつく。(たとえば、文字盤に数字が書いてある、
完全に固定されているなど、時計の上下左右の見分けはつく。)

この条件の下で解答します。

問1
まず、短針は12時間で1周するから1時間では360/12=30度回転。
さらに、1分では30/60=0.5度回転する。長針は1時間で1周するから、
1分では360/60=6度回転する。

したがってx時y分のとき、長針と短針がそれぞれ文字盤の中心と文字盤の「12」を表現した部分を結んだ直線(以下「基準線」という)と成す角は
短針…30x+0.5y
長針…6y
となる。

よって、x時y分とX時Y分の見分けがつかなくなるということは、
両者の短針と長針が入れ替わっていることがわからない、
言い換えれば、x時y分のときに基準線と短針が成す角と
X時Y分のときに基準線と長針が成す角が全く同じで、かつ、
x時y分のときに基準線と長針が成す角と
X時Y分のときに基準線と短針が成す角が全く同じである場合を指す。

式にすると、
30x+0.5y=6Y
30X+0.5Y=6y
という連立方程式が成立する。
ここで、xとXを定数とみてこの連立方程式を解くと、
Y=(360x+30X)/71.5
y=(30x+360X)/71.5
が導出されるが、下の式は(x,y)と(X,Y)を入れ替えれば
上の式と同じ物になるので、以降上の式のみを考えることとする。

この式に、(x,X)=(0,0),(0,1),…,(11,11)の144通りを
代入して計算すると、この表のような計算結果が出てくる。

このうち、x=Xとなっているものは
「自分自身と区別がつかない」という意味のため、考慮しない。
(たとえば、B2のセルは「0時0分は0時0分と区別がつかない」
という自明な解答を表わしている。)
このような組み合わせは12通りあるので、それを差し引く。

というわけで、この問題の答えは132回となります。
(もしも0時ちょうどと正午ちょうどを含むのであれば、
その2つも合わせた134回になります)

問2
こちらは何とも言えませんが、一般的にはたえうると思います。

なぜなら、運悪く区別のつかない時刻に見たとしても、
長針と短針の回転の比は12:1なので、
30秒もすれば明らかな差ができるため、
どちらの針が長針か区別がつきます。
また、0時55分と11時4分では、
窓の外を見れば昼か夜かくらいはわかるでしょうから、
134回のうち半分くらいはそういったことで判断できると思います。
ただ、遅刻しそうで1秒も待っていられないというときはちょっと厳しいですが

◆ひろpapaさんの再解答

今回は計算ミスが無いようExcelにて計算いたしました
確かに12×12−12=132回ありました

ここに全ての時間を載せると長くなるため、
Excelのシートを添付いたします

参考

分かるには時間が足りない 感じるのは一瞬だが
ひねもすのたりとりあえず ブートレッグを聴いている -- [真島昌利 / 空席]

問題投稿者:煙詰めさん


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