算数/数学クイズ答え

Q27の答え

下記参照

正解者
PDJさん リョウさん	黄昏の錬金術師さん 大嶋さん

解説

『素数の無限性』は、かの有名な数学者ユークリッドによって証明されました。
そのとき、彼は背理法という方法を用いて証明をしました。
そのあまりのエレガントさから、ユークリッドの素数定理としてご存知の方も多いのではないでしょうか

◆大嶋さん、リョウさんの解答

背理法によります。
素数は有限個と仮定する（N個)
それぞれの素数に名前をつけて、小さい順にa1，a2…aNと呼ぶことにする。
(例えばa1＝2，a2＝3…のようにする。)

ここで、bとして
b＝(a1×a2×…aN)＋１
を考えるとa1からaNのどの数でも割れない。

素数で割れなければ、それの組み合わせであるほかの数でも割れないから、
bは1とb以外に因数を持たない。
なのでbは素数である。
これは仮定に矛盾しいる。
だから素数は無限にある

◆PDJさんの解答

ちょっと難しめのだけに絞ったPDJです。
(すごく難しいのはできないという意味でもある)

背理法です。
素数が有限個と仮定し、総個数をnとする。
素数を小さいほうからP1,P2....Pnとする。
その全ての数を掛け合わせて1を足した数は、
どの数で割っても1余る事になり割り切れない。
すなわち素数である。
したがって素数はn個ではなく少なくとももうひとつは存在する。
これは、初めの仮定が誤っていたためで、
すなわち素数は有限個ではなく、無限に存在する

◆黄昏の錬金術師さんの解答

まず素数が有限個しかないと仮定して、それらを小さい順に、
P1(=2)、P2(=3)、・・・、Pnとします。
ここでq=P1・P2・…・Pn+1とおくと、
qは自然数であり、P1、P2、…、Pnのどれで割っても割り切れない。
したがってqは素数である。
が、qはP1、P2、…、Pnのどれとも異なるので、
(qとP1、P2、…、Pnの大小は常にqが大)
qは素数ではなく、これは矛盾する。
よって素数は無限にある。

ユークリッドの素数定理そのままですね♪♪♪

素数は無限に存在する・・・一見カンタンそうに見える命題ほど、証明するというのは難しいのかもしれません

参考

There is no royal road to geometry. --- 幾何学に王道なし！

問題投稿者：ユークリッドの定理より

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