一問目
難しくないので、説明は省きます。答えは
『２０３５年（平成４７年）６月１８日』
尤も、今上天皇の年齢を考えると実は微妙なところではありますが
二問目
二つに分けて考えます。
・平成二桁年の場合
（３）西暦ＡＢＣＤ年（平成ＥＦ年）ＧＨ月ＩＪ日
２０００年（平成１２年）〜２０８７年（平成９９年）なので、ＡとＢは２と０に確定。ゆえにＧは１に確定。ゆえにＩは３に確定。すると０か１に限定されるＪに入る数字がない為、成り立ちません。
・平成三桁年の場合
（４）西暦ＡＢＣＤ年（平成ＥＦＧ年）ＨＩ月Ｊ日
（５）西暦ＡＢＣＤ年（平成ＥＦＧ年）Ｈ月ＩＪ日
２０８８年（平成１００年）〜２９８７年（平成９９９年）なので、Ａは２に確定。
西暦の下二桁が００〜８７の場合は、ＢとＥが同じ数字になるので成り立ちません。
Ｃは８か９しか有り得ません。そこで、Ｃを８と仮定するとＤ・Ｆ・Ｇはそれぞれ９・０・１となるが、（４）の場合はＨに該当する数字がなく、（５）の場合はＩが３となるがＪに該当する数字がないため、成り立ちません。ゆえにＣは９に確定。
Ｆは０か１しか有り得ません。Ｆを１と仮定するとＣ・Ｄ・Ｇはそれぞれ９・８・０となるが、上記と全く同じ理由により成り立ちません。ゆえにＦは０に確定。
Ｅ＝Ｂ＋１、Ｇ＝Ｄ＋２が成り立つように、残りの数値を直近の日付となるように割り当てると
『西暦２３９５年（平成４０７年）６月１８日』
が条件を満たす直近の日付となります。
・・・が、常識的に考えると、平成４０７年が来るとは考えられません。無論、元号の慣習が変わるとか、人間が途方も無く長生きできるようになる可能性がないとは言えませんが、現時点ではその可能性は非常に薄いと思われます。よって、答えは
『ない、あるいは、その日は来ない』
です。平成三桁年である事はすぐに分かるので日付を計算するまでもありませんが、それでも敢えて日付を計算された方はご苦労さまでした。
難しくないので、説明は省きます。答えは
『２０３５年（平成４７年）６月１８日』
尤も、今上天皇の年齢を考えると実は微妙なところではありますが
二問目
二つに分けて考えます。
・平成二桁年の場合
（３）西暦ＡＢＣＤ年（平成ＥＦ年）ＧＨ月ＩＪ日
２０００年（平成１２年）〜２０８７年（平成９９年）なので、ＡとＢは２と０に確定。ゆえにＧは１に確定。ゆえにＩは３に確定。すると０か１に限定されるＪに入る数字がない為、成り立ちません。
・平成三桁年の場合
（４）西暦ＡＢＣＤ年（平成ＥＦＧ年）ＨＩ月Ｊ日
（５）西暦ＡＢＣＤ年（平成ＥＦＧ年）Ｈ月ＩＪ日
２０８８年（平成１００年）〜２９８７年（平成９９９年）なので、Ａは２に確定。
西暦の下二桁が００〜８７の場合は、ＢとＥが同じ数字になるので成り立ちません。
Ｃは８か９しか有り得ません。そこで、Ｃを８と仮定するとＤ・Ｆ・Ｇはそれぞれ９・０・１となるが、（４）の場合はＨに該当する数字がなく、（５）の場合はＩが３となるがＪに該当する数字がないため、成り立ちません。ゆえにＣは９に確定。
Ｆは０か１しか有り得ません。Ｆを１と仮定するとＣ・Ｄ・Ｇはそれぞれ９・８・０となるが、上記と全く同じ理由により成り立ちません。ゆえにＦは０に確定。
Ｅ＝Ｂ＋１、Ｇ＝Ｄ＋２が成り立つように、残りの数値を直近の日付となるように割り当てると
『西暦２３９５年（平成４０７年）６月１８日』
が条件を満たす直近の日付となります。
・・・が、常識的に考えると、平成４０７年が来るとは考えられません。無論、元号の慣習が変わるとか、人間が途方も無く長生きできるようになる可能性がないとは言えませんが、現時点ではその可能性は非常に薄いと思われます。よって、答えは
『ない、あるいは、その日は来ない』
です。平成三桁年である事はすぐに分かるので日付を計算するまでもありませんが、それでも敢えて日付を計算された方はご苦労さまでした。