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a2wz0ahz
2020/09/07 17:56
解答（例）を公開しました．
以下，解説です．
解説：
自分の順番で攻撃対象を2人から選ぶとき，自分以外の命中確率の低い方が残った方が有利になるので，命中確率の高い方を攻撃することになります．
アリスとボブが残り，次がアリスの攻撃のときに，アリスが勝つ確率をxとしますと，
x = 0.4 + (1 - 0.4) (1 - 0.5) x
∴x = 4/7
アリスとボブが残り，次がボブの攻撃のときに，アリスが勝つ確率は
(1 - 0.5) x = 2/7
それぞれが勝つ確率を(（アリスが勝つ確率）, （ボブが勝つ確率）, （キャロルが勝つ確率）)とあらわします．
1)
ボブが勝つ確率は
0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7 = 29/70
キャロルが勝つ確率は
0.6×0.5×0.6 = 9/50
アリスが勝つ確率は
1 - 29/70 - 9/50 = 71/175
∴(71/175, 29/70, 9/50) = (40.57142857142857, 41.42857142857143%, 18%)
2)
それぞれが勝つ確率は，
アリス，キャロル，ボブの順のとき，(62/175, 2/7, 9/25)
ボブ，アリス，キャロルの順のとき，(81/175, 5/14, 9/50)
ボブ，キャロル，アリスの順のとき，(17/35, 3/14, 3/10)
キャロル，アリス，ボブの順のとき，(2/5, 0, 3/5)
キャロル，ボブ，アリスの順のとき，(2/5, 0, 3/5)
∴(1/6 (71/175 + 62/175 + 81/175 + 17/35 + 2/5 + 2/5), 1/6 (29/70 + 2/7 + 5/14 + 3/14 + 0 + 0), 1/6 (9/50 + 9/25 + 9/50 + 3/10 + 3/5 + 3/5)) = (439/1050, 89/420, 37/100) = (41.80952380952381%, 21.19047619047619%, 37%)
3)
解答例：
キャロルの宣言：「アリスが私を攻撃し残っていれば，私はアリスを攻撃する．それ以外はボブを攻撃する．」
(I) アリスがキャロルを攻撃したとき，ボブはキャロルを，キャロルはアリスを攻撃します．
それぞれが勝つ確率は，
(0.4×2/7 + 0.6×0.5×4/7, 0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7 + 0.6×0.5×0.5, 0.6×0.5×0.5) = (28.6%, 56.4%, 15%)．
(II) アリスがボブを攻撃したとき，
それぞれが勝つ確率は，
(0.6×0.5×4/7 + 0.6×0.5×0.4, 0.6×0.5×3/7, 0.4 + 0.6×0.5×0.6) = (29.1%, 12.9%, 58%)．
したがって，アリスは自分が勝つ確率が高い方を選んで，ボブを攻撃します．
このとき，キャロルが勝つ確率は58%になります．
4)
解答例：
アリスの宣言：「キャロルが『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言すれば，私は69%の確率でボブを攻撃する．それ以外はキャロルを攻撃する」
(I) キャロルが『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言したとき，アリスは69%，31%の確率でそれぞれボブ，キャロルを攻撃し，ボブはキャロルを攻撃する．
それぞれが勝つ確率は，
(0.31×0.4×2/7 + 0.6×0.5×4/7 + 0.6×0.5×0.4, 0.31×0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7, 0.69×0.4 + 0.6×0.5×0.6) = (32.7%, 21.7%, 45.6%)
(II) キャロルが『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言しなかったとき
(II-i) ボブがキャロルを攻撃したとき，キャロルの攻撃のときにキャロルが100%ボブを攻撃するときを考えて，
ボブが勝つ確率は，0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7 = 29/70以上，
キャロルが勝つ確率は，0.6×0.5×0.6 = 18%以下．
(II-ii) ボブがアリスを攻撃したとき，キャロルの攻撃のときにキャロルがアリスを攻撃する確率をxとします．
ボブが勝つ確率は，0.4×5/7 + 0.6×0.5×x×0.5 = (21 x + 40)/140．
ボブがアリスを攻撃することから，(21 x + 40)/140 ≧ 29/70
∴x ≧ 6/7
キャロルが勝つ確率は，
0.6×0.5 + 0.6×0.5 x×0.5 + 0.6×0.5 (1 - x)×0.6 = -3/100 x + 12/25で，
-3/100 (6/7) + 12/25 = 159/350 = 45.4%以下．
したがって，キャロルが勝つ確率は(II-i)，(II-ii)どちらのときでも45.4%以下になります．
したがって，キャロルは自分の勝つ確率が高い方を選んで『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言します．
このとき，アリスが勝つ確率は32.7%になります．
以下，解説です．
解説：
自分の順番で攻撃対象を2人から選ぶとき，自分以外の命中確率の低い方が残った方が有利になるので，命中確率の高い方を攻撃することになります．
アリスとボブが残り，次がアリスの攻撃のときに，アリスが勝つ確率をxとしますと，
x = 0.4 + (1 - 0.4) (1 - 0.5) x
∴x = 4/7
アリスとボブが残り，次がボブの攻撃のときに，アリスが勝つ確率は
(1 - 0.5) x = 2/7
それぞれが勝つ確率を(（アリスが勝つ確率）, （ボブが勝つ確率）, （キャロルが勝つ確率）)とあらわします．
1)
ボブが勝つ確率は
0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7 = 29/70
キャロルが勝つ確率は
0.6×0.5×0.6 = 9/50
アリスが勝つ確率は
1 - 29/70 - 9/50 = 71/175
∴(71/175, 29/70, 9/50) = (40.57142857142857, 41.42857142857143%, 18%)
2)
それぞれが勝つ確率は，
アリス，キャロル，ボブの順のとき，(62/175, 2/7, 9/25)
ボブ，アリス，キャロルの順のとき，(81/175, 5/14, 9/50)
ボブ，キャロル，アリスの順のとき，(17/35, 3/14, 3/10)
キャロル，アリス，ボブの順のとき，(2/5, 0, 3/5)
キャロル，ボブ，アリスの順のとき，(2/5, 0, 3/5)
∴(1/6 (71/175 + 62/175 + 81/175 + 17/35 + 2/5 + 2/5), 1/6 (29/70 + 2/7 + 5/14 + 3/14 + 0 + 0), 1/6 (9/50 + 9/25 + 9/50 + 3/10 + 3/5 + 3/5)) = (439/1050, 89/420, 37/100) = (41.80952380952381%, 21.19047619047619%, 37%)
3)
解答例：
キャロルの宣言：「アリスが私を攻撃し残っていれば，私はアリスを攻撃する．それ以外はボブを攻撃する．」
(I) アリスがキャロルを攻撃したとき，ボブはキャロルを，キャロルはアリスを攻撃します．
それぞれが勝つ確率は，
(0.4×2/7 + 0.6×0.5×4/7, 0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7 + 0.6×0.5×0.5, 0.6×0.5×0.5) = (28.6%, 56.4%, 15%)．
(II) アリスがボブを攻撃したとき，
それぞれが勝つ確率は，
(0.6×0.5×4/7 + 0.6×0.5×0.4, 0.6×0.5×3/7, 0.4 + 0.6×0.5×0.6) = (29.1%, 12.9%, 58%)．
したがって，アリスは自分が勝つ確率が高い方を選んで，ボブを攻撃します．
このとき，キャロルが勝つ確率は58%になります．
4)
解答例：
アリスの宣言：「キャロルが『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言すれば，私は69%の確率でボブを攻撃する．それ以外はキャロルを攻撃する」
(I) キャロルが『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言したとき，アリスは69%，31%の確率でそれぞれボブ，キャロルを攻撃し，ボブはキャロルを攻撃する．
それぞれが勝つ確率は，
(0.31×0.4×2/7 + 0.6×0.5×4/7 + 0.6×0.5×0.4, 0.31×0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7, 0.69×0.4 + 0.6×0.5×0.6) = (32.7%, 21.7%, 45.6%)
(II) キャロルが『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言しなかったとき
(II-i) ボブがキャロルを攻撃したとき，キャロルの攻撃のときにキャロルが100%ボブを攻撃するときを考えて，
ボブが勝つ確率は，0.4×5/7 + 0.6×0.5×3/7 = 29/70以上，
キャロルが勝つ確率は，0.6×0.5×0.6 = 18%以下．
(II-ii) ボブがアリスを攻撃したとき，キャロルの攻撃のときにキャロルがアリスを攻撃する確率をxとします．
ボブが勝つ確率は，0.4×5/7 + 0.6×0.5×x×0.5 = (21 x + 40)/140．
ボブがアリスを攻撃することから，(21 x + 40)/140 ≧ 29/70
∴x ≧ 6/7
キャロルが勝つ確率は，
0.6×0.5 + 0.6×0.5 x×0.5 + 0.6×0.5 (1 - x)×0.6 = -3/100 x + 12/25で，
-3/100 (6/7) + 12/25 = 159/350 = 45.4%以下．
したがって，キャロルが勝つ確率は(II-i)，(II-ii)どちらのときでも45.4%以下になります．
したがって，キャロルは自分の勝つ確率が高い方を選んで『ボブが残っていればボブを攻撃する』と宣言します．
このとき，アリスが勝つ確率は32.7%になります．