ｸｲｽﾞ大陸

感謝祭がバレンタインと被ったのでやや時期遅れの問題。
前回同様、一部だけの解答や推測、その他コメント等も受け付けています。

<tt>ミク、ムツホ、コノミの三人はお菓子作りをする予定です。
話し合った結果、作るお菓子を「生チョコ、クッキー、ブラウニー」の3種類に絞りました。
そこでくじ引きアプリを使い、以下の試行によって作るお菓子を決定することにしました。</tt>

試行の説明

「生チョコ、クッキー、ブラウニー」のいずれか1つが書かれた異なる3枚のカードをシャッフルした後にその中から1枚引き、結果を記録してからそのカードを再び戻してシャッフルする。
以上の一連の作業を「操作V」とする。
「操作V」を繰り返して次の条件�@か条件�Aのうちどちらかでも満たしたときに、試行を終了する。
ただし、カードが1回引かれるにつき、そのカードに記載されたお菓子に1点を与えるとし、終了時点で最も点数が高いお菓子が作られる。

【条件�@】1つのお菓子が他の2つのお菓子のどちらに対しても2点以上の差をつける。
【条件�A】1つのお菓子が他の2つのお菓子のうち少なくとも一方に対して3点以上の差をつける。

例えば、生チョコが5点、クッキーが7点、ブラウニーが7点を得ている状態でブラウニーのカードを引けば作るお菓子はブラウニーに決定する。
生チョコが6点、クッキーが7点、ブラウニーが7点得ている状態でブラウニーのカードを引いても作るお菓子は決定しない。

(注)「操作V」で「生チョコ、クッキー、ブラウニー」のカードを引く確率は3枚とも同様に確からしい。

問題

n回目の「操作V」を行ったときに、作るお菓子がブラウニーに決定する確率をP_nとおく。(ただし、nは正の整数)
(1)P₃₆₉, P₇₇₇の値をそれぞれ求めよ。
(2)P_nを求めよ。
(3)P_nが最大となるようなnとそのときのP_nの値を求めよ。

(回答にはP_nをP(n)のように表記しても構いません。)

お知らせ
覆面算「ハク・ハツ・チュン」の解答を公開しました。
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