解答発表しました。
(2)の形は
>>3と違いますが、計算するとしっかりと同じ値を取ってくれます。
参考までに、複素数を使った計算法を下に書いておきます。
途中までは
>>3とほとんど同じなので省略。
36a_(n+2)=-18a_(n+1)-3a_n+19 となっている所を
a_(n+2)+a_(n+1)/2+a_n/12=19/36・・・(A) と変形して（戻して）、これを
定数入りの隣接三項間漸化式として解いていきます。
x^2+x/2+1/12 を解くと x=(-3±√3i)/12 となるので、式(A)は
a_(n+2) - (-3+√3i)a_(n+1)/12
= (-3-√3i)/12 * {a_(n+1)-(-3+√3i)a_n/12} + 19/36
と変形される。
ここで、-d+(-3-√3i)d/12=19/36 となる値dを求めると
d=(-15+√3i)/36 であるから、この式はさらに
a_(n+2) - (-3+√3i)a_(n+1)/12 + (-15+√3i)/36
= (-3-√3i)/12 * {a_(n+1) - (-3+√3i)a_n/12 + (-15+√3i)/36}
と変形される。
この形より、数列{a_(n+1) - (-3+√3i)a_n/12 + (-15+√3i)/36} は初項が
a_2 - (-3+√3i)a_1/12 + (-15+√3i)/36
=13/36 - (-3+√3i)/72 + (-15+√3i)/36
=(-1+√3i)/72
公比が (-3-√3i)/12 の等比数列となる。したがって、
a_(n+1) - (-3+√3i)a_n/12 + (-15+√3i)/36
= (-1+√3i)/72 * {(-3-√3i)/12}^(n-1)・・・(B)
式(A)の変形を
a_(n+2) - (-3-√3i)a_(n+1)/12
= (-3+√3i)/12 * {a_(n+1)-(-3-√3i)a_n/12} + 19/36
として上と同様に計算して、等比数列の式から
a_(n+1) + (3+√3i)a_n/12 - (15+√3i)/36
= (-1-√3i)/72 * {(-3+√3i)/12}^(n-1)・・・(C)
式(B)から(C)を引いて、
-12√3ia_n + 4√3i
={(1+√3i)(-3-√3i)^(n-1) + (1+√3i)(-3+√3i)^(n-1)} /12^(n-1)
この式から、4√3i を移項して両辺を -12√3i で割ることで、答えの式
a_n
={(1+√3i)(-3-√3i)^(n-1) - (1+√3i)(-3+√3i)^(n-1)
+ 12^(n-1)*4√3i } / 12^n*√3i が得られる。
…やっぱり三角関数の方がスマートですね
あの和積公式の使い方には本当に感服。
(2)の形は>>3と違いますが、計算するとしっかりと同じ値を取ってくれます。
参考までに、複素数を使った計算法を下に書いておきます。
途中までは>>3とほとんど同じなので省略。
36a_(n+2)=-18a_(n+1)-3a_n+19 となっている所を
a_(n+2)+a_(n+1)/2+a_n/12=19/36・・・(A) と変形して（戻して）、これを
定数入りの隣接三項間漸化式として解いていきます。
x^2+x/2+1/12 を解くと x=(-3±√3i)/12 となるので、式(A)は
a_(n+2) - (-3+√3i)a_(n+1)/12
= (-3-√3i)/12 * {a_(n+1)-(-3+√3i)a_n/12} + 19/36
と変形される。
ここで、-d+(-3-√3i)d/12=19/36 となる値dを求めると
d=(-15+√3i)/36 であるから、この式はさらに
a_(n+2) - (-3+√3i)a_(n+1)/12 + (-15+√3i)/36
= (-3-√3i)/12 * {a_(n+1) - (-3+√3i)a_n/12 + (-15+√3i)/36}
と変形される。
この形より、数列{a_(n+1) - (-3+√3i)a_n/12 + (-15+√3i)/36} は初項が
a_2 - (-3+√3i)a_1/12 + (-15+√3i)/36
=13/36 - (-3+√3i)/72 + (-15+√3i)/36
=(-1+√3i)/72
公比が (-3-√3i)/12 の等比数列となる。したがって、
a_(n+1) - (-3+√3i)a_n/12 + (-15+√3i)/36
= (-1+√3i)/72 * {(-3-√3i)/12}^(n-1)・・・(B)
式(A)の変形を
a_(n+2) - (-3-√3i)a_(n+1)/12
= (-3+√3i)/12 * {a_(n+1)-(-3-√3i)a_n/12} + 19/36
として上と同様に計算して、等比数列の式から
a_(n+1) + (3+√3i)a_n/12 - (15+√3i)/36
= (-1-√3i)/72 * {(-3+√3i)/12}^(n-1)・・・(C)
式(B)から(C)を引いて、
-12√3ia_n + 4√3i
={(1+√3i)(-3-√3i)^(n-1) + (1+√3i)(-3+√3i)^(n-1)} /12^(n-1)
この式から、4√3i を移項して両辺を -12√3i で割ることで、答えの式
a_n
={(1+√3i)(-3-√3i)^(n-1) - (1+√3i)(-3+√3i)^(n-1)
+ 12^(n-1)*4√3i } / 12^n*√3i が得られる。
…やっぱり三角関数の方がスマートですね
あの和積公式の使い方には本当に感服。