ｸｲｽﾞ大陸

解答です。

「あなたはジャックですか？」

という質問が一例で、題意を満たす一番シンプルな質問だと思います。

たとえば、１００回試行して、２５回ずつ、
以下のパターンの双子（の片割れ）に質問していたとすると、

正直ジョンの　　「はい」0%(0回)　　←正直なので全部「いいえ」
正直ジャックの　「はい」100%(25回) ←正直なので全部「はい」
まだらジョンの　「はい」60%(15回)　←真実は「いいえ」だが、６０％の確率でウソを言う
まだらジャックの「はい」40%(10回)　←真実は「はい」で、４０％の確率で真実を言う


すると、
ジョンの「はい」は15回
ジャックの「はい」は35回
と、なります。全部で50回。

15/50 = 0.3　となりますので、
「はい」という回答を得た１００回のうち、ジョンが答えていた回数の見積もりは、
100*0.3=30回
と、なります。

ここで、設問では１００回の「はい」を得たのに、
解答では１００回の「試行」を行い、５０回の「はい」しか得ていない、
というところに、引っかかりを感じるかもしれません。
（実は私も感じるのですが）

それは、No.10で書いたように、そもそも、「あなたはジャックですか？」という質問を投げかけておいて、１００回連続「はい」という答えを得る確率自体が、２のマイナス１００乗になるはずですので（スミマセン）、設問の設定が現実問題、そのままの形で実現することはかなりレアですね。


少しばかり、条件付き確率の式を書いておきます。

事象Ａ：Ａ氏がジョンに質問をする
事象Ｂ：Ａ氏が「○○○は×××ですか？」と質問し「はい」の答えを得る

とした場合、本問は、以下のように考えられます。

ベイズの定理から、
P_B(A)=P_A(B)*P(A)/P(B)

ここで、題意から、
P_B(A)=0.3
P(A)=0.5
は、確定しています。

P_A(B)と、P(B)は、質問の内容次第です。

ベイズの定理を変形して、
P_B(A)/P(A)=P_A(B)/P(B)
左辺＝0.3/0.5=0.6ですので、

本問は、
P_A(B)/P(B)=0.6　となるような質問を見つければ良い、ということになります。

ジョンに質問したときに「はい」が返ってくる率／トータルで「はい」が返ってくる率
が、0.6になるような質問、ということなんですが・・・

たとえば、解答の「あなたはジャックですか？」ですと、
P_A(B)/P(B) = 0.3/0.5 = 0.6　です。


但し、たぶん、適当に色々質問を考えてみて、「はい」の個数のうち、ジョンが答えていた個数を数えて比率を出すという、先に書いたやり方の方が簡単な気がします。