ほとんど放置な状態にしてしまったので、
解答公開しました。お待たせして申し訳ございません。
(待っている人がいるのかどうかは不明ですが
)
(本解)
F(x)は区間[x,1+x]で連続なので、平均値の定理により、
以下の条件を満たす実数 t が存在する。
[1] sin(1+x)−sin x ＝cos t
[2] 0< t <0.5
[1]の両辺を2乗して逆数をとり、
{F(x)}
2＝1/cos
2t ＝tan
2t ＋1
変形して、{F(x)}
2−1＝tan
2t
両辺の正の根号をとり、tan t ＝[{F(x)+1}{F(x)−1}]
1/2後は関数 y＝tan x が区間(0,π/2)で増加関数であることから、
所望の式が得られます。
間違い等あればご指摘下さい。
解答公開しました。お待たせして申し訳ございません。
(待っている人がいるのかどうかは不明ですが
(本解)
F(x)は区間[x,1+x]で連続なので、平均値の定理により、
以下の条件を満たす実数 t が存在する。
[1] sin(1+x)−sin x ＝cos t
[2] 0< t <0.5
[1]の両辺を2乗して逆数をとり、
{F(x)}2＝1/cos2t ＝tan2t ＋1
変形して、{F(x)}2−1＝tan2t
両辺の正の根号をとり、tan t ＝[{F(x)+1}{F(x)−1}]1/2
後は関数 y＝tan x が区間(0,π/2)で増加関数であることから、
所望の式が得られます。
間違い等あればご指摘下さい。