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s_hskz
2015/12/09 22:31
＞f(x)=logx/xとすると、
f(x)はx>eの領域で単調減少する。……①
高校の指導要領をみますと、以下のような生徒が存在するかもしれません。
（１）多項式関数の微積分は習う。
（２）指数関数や対数関数は習う。
（３）指数関数や対数関数の微積分については習わない。
このような高校生にも、①と同等な性質を直感的に理解してもらう為に次のような方法があるようです。
===
y=log(x) のグラフ を描きます。
このグラフは点(e,1)を通過します。
原点と点(e,1)とを通る直線Eを描き加えます。
更に、
原点と点(π,log(π))とを通る直線Pを描き加えます。
y=log(x) のグラフは上に凸であることもあいまって、直線Eの傾き＞直線Pの傾き となります。従いまして、
1/e > log(π)/π
log(e)/e > log(π)/π
よって
π^e<e^π
※上記は、πでなくとも、x>e なるxであれば、グラフから読み取れる性質です。事実上、①と同等です。
===
以上が指数関数や対数関数の微積分について学習する前に、直感的に π^e<e^π を悟らせるための便法です。
f(x)はx>eの領域で単調減少する。……①
高校の指導要領をみますと、以下のような生徒が存在するかもしれません。
（１）多項式関数の微積分は習う。
（２）指数関数や対数関数は習う。
（３）指数関数や対数関数の微積分については習わない。
このような高校生にも、①と同等な性質を直感的に理解してもらう為に次のような方法があるようです。
===
y=log(x) のグラフ を描きます。
このグラフは点(e,1)を通過します。
原点と点(e,1)とを通る直線Eを描き加えます。
更に、
原点と点(π,log(π))とを通る直線Pを描き加えます。
y=log(x) のグラフは上に凸であることもあいまって、直線Eの傾き＞直線Pの傾き となります。従いまして、
1/e > log(π)/π
log(e)/e > log(π)/π
よって
π^e<e^π
※上記は、πでなくとも、x>e なるxであれば、グラフから読み取れる性質です。事実上、①と同等です。
===
以上が指数関数や対数関数の微積分について学習する前に、直感的に π^e<e^π を悟らせるための便法です。