回答有難うございました。答えです。
長方形ABCDで、BE=x,DF=y とします。
⊿AEFで、余弦定理より、
EF^2=AE^2+AF^2-2AE・AFcos45°
(4-x)^2+(3-y)^2=x^2+9+y^2+16-√2×√(x^2+9)(y^2+16) より、x,yの値を考慮して、
y=4(3-x)/(x+3)…①となります。このとき、0≦y≦3であることから、3/7≦x≦3であることもわかります。
⊿AEFの面積をSとすると、
S=長方形ABCD-(⊿ABE+⊿ECF+⊿AFD) = 12-1/2{3x＋(4-x)(3-y)＋4y}…②
②に①を代入して整理すると
S=2{x-3+18/(x+3)} 但し、3/7≦x≦3
微分すると、Sはx=3/7～3(√2-1)の範囲で単調減少、x=3(√2-1)で極小、x=3(√2-1)～3 の範囲で単調増加します。
x=3/7→S=75/14,x=3→S=6ですから、
問①の答え…6cm^2 BE=3cm
問②の答え…3(√2-1)cm 面積=12(√2-1)cm^2
正解された方々の算出法の方が私のよりずっとスマートですね。
長方形ABCDで、BE=x,DF=y とします。
⊿AEFで、余弦定理より、
EF^2=AE^2+AF^2-2AE・AFcos45°
(4-x)^2+(3-y)^2=x^2+9+y^2+16-√2×√(x^2+9)(y^2+16) より、x,yの値を考慮して、
y=4(3-x)/(x+3)…①となります。このとき、0≦y≦3であることから、3/7≦x≦3であることもわかります。
⊿AEFの面積をSとすると、
S=長方形ABCD-(⊿ABE+⊿ECF+⊿AFD) = 12-1/2{3x＋(4-x)(3-y)＋4y}…②
②に①を代入して整理すると
S=2{x-3+18/(x+3)} 但し、3/7≦x≦3
微分すると、Sはx=3/7～3(√2-1)の範囲で単調減少、x=3(√2-1)で極小、x=3(√2-1)～3 の範囲で単調増加します。
x=3/7→S=75/14,x=3→S=6ですから、
問①の答え…6cm^2 BE=3cm
問②の答え…3(√2-1)cm 面積=12(√2-1)cm^2
正解された方々の算出法の方が私のよりずっとスマートですね。