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I.T
2014/06/23 21:48
7次元
x^7+18x^5+2x^4+90x^3+18x^2+33x-54=0
答えを予測する解き方
6乗の項がないので整数a,b,c,d,eを用いて
(x^3+ax+b)(x^4+cx^2+dx+e)=0と因数分解できると仮定する。
展開すると
x^7+(a+c)x^5+(b+d)x^4+(ac+e)x^3+(ad+bc)x^2+(ae+bd)x+be=0
もとの式と係数を比較すれば、a+c=18、b+d=2、ac+e=90、ad+bc=18、ae+bd=33、be=-54
{b,e}={±1,∓54},{±2,∓27},{±3,∓18},{±6,∓9}
以上の16通りについて調べれば(x^3+9x-6)(x^4+9x^2+8x+9)=0
x^4+9x^2+8x+9=0は3乗の項がないので、
(x^2+fx+g)(x^2-fx+h)=0と因数分解できると仮定する。
展開すると
x^4+(g+h-f^2)x^2+(fh-fg)x+gh=0
もとの式と係数を比較すれば、g+h-f^2=9、f(h-g)=8、gh=9
g+h=f^2+9,h-g=8/f
g=(f^2+9-8/f)/2,h=(f^2+9+8/f)
4gh=(f^2+9)^2-64/f^2=36
f^6+18f^4+45f^2-64=0
(f^2-1)(f^4+19f^2+64)=0
f=1とすると、g=1,h=9
よって
(x^3+9x-6)(x^2+x+1)(x^2-x+9)=0
最初から計算で
x=p+q,pq=a,p^3+q^3=bとおくと
x^3=b+3ax…①
x^4=bx+3ax^2
x^5=bx^2+3ab+9a^2x
x^7=b^2x+6abx^2+9a^2b+27a^3x
x^7+18x^5+2x^4+90x^3+18x^2+33x-54=(6ab+18b+6a+18)x^2+(b^2+27a^3+162a^2+2b+270a+33)x+9a^2b+54ab+90b-54=0
ab+3b+a+3=0…②
b^2+27a^3+162a^2+2b+270a+33=0…③
a^2b+6ab+10b-6=0…④
②より
(a+3)(b+1)=0
a=-3のとき④より
9b-18b+10b-6=0 ∴b=6
③の左辺に代入すると
左辺=36-27×27+162×9+12-3×270+33=81-3×27=0より成立する
pq=-3,p^3+q^3=6のとき①より
x^3=6-9x
x^7+18x^5+2x^4+90x^3+18x^2+33x-54=(x^3+9x-6)(x^4+9x^2+8x+9)
x^3+9x-6=0について
pq=-3⇒(pq)^3=-27より,p^3,q^3は
r^2-6r-27=0の二つの解である。
(r-9)(r+3)=0
p^3=-3,q^3=9とし、w^3=1,w≠1,s=3^(1/3)とすると
pq∈Rより
(p,q)=(-s,s^2),(-sw,s^2w^2),(-sw^2,s^2w)となり
x=p+qより三つの解が得られる。
x^7+18x^5+2x^4+90x^3+18x^2+33x-54=0
答えを予測する解き方
6乗の項がないので整数a,b,c,d,eを用いて
(x^3+ax+b)(x^4+cx^2+dx+e)=0と因数分解できると仮定する。
展開すると
x^7+(a+c)x^5+(b+d)x^4+(ac+e)x^3+(ad+bc)x^2+(ae+bd)x+be=0
もとの式と係数を比較すれば、a+c=18、b+d=2、ac+e=90、ad+bc=18、ae+bd=33、be=-54
{b,e}={±1,∓54},{±2,∓27},{±3,∓18},{±6,∓9}
以上の16通りについて調べれば(x^3+9x-6)(x^4+9x^2+8x+9)=0
x^4+9x^2+8x+9=0は3乗の項がないので、
(x^2+fx+g)(x^2-fx+h)=0と因数分解できると仮定する。
展開すると
x^4+(g+h-f^2)x^2+(fh-fg)x+gh=0
もとの式と係数を比較すれば、g+h-f^2=9、f(h-g)=8、gh=9
g+h=f^2+9,h-g=8/f
g=(f^2+9-8/f)/2,h=(f^2+9+8/f)
4gh=(f^2+9)^2-64/f^2=36
f^6+18f^4+45f^2-64=0
(f^2-1)(f^4+19f^2+64)=0
f=1とすると、g=1,h=9
よって
(x^3+9x-6)(x^2+x+1)(x^2-x+9)=0
最初から計算で
x=p+q,pq=a,p^3+q^3=bとおくと
x^3=b+3ax…①
x^4=bx+3ax^2
x^5=bx^2+3ab+9a^2x
x^7=b^2x+6abx^2+9a^2b+27a^3x
x^7+18x^5+2x^4+90x^3+18x^2+33x-54=(6ab+18b+6a+18)x^2+(b^2+27a^3+162a^2+2b+270a+33)x+9a^2b+54ab+90b-54=0
ab+3b+a+3=0…②
b^2+27a^3+162a^2+2b+270a+33=0…③
a^2b+6ab+10b-6=0…④
②より
(a+3)(b+1)=0
a=-3のとき④より
9b-18b+10b-6=0 ∴b=6
③の左辺に代入すると
左辺=36-27×27+162×9+12-3×270+33=81-3×27=0より成立する
pq=-3,p^3+q^3=6のとき①より
x^3=6-9x
x^7+18x^5+2x^4+90x^3+18x^2+33x-54=(x^3+9x-6)(x^4+9x^2+8x+9)
x^3+9x-6=0について
pq=-3⇒(pq)^3=-27より,p^3,q^3は
r^2-6r-27=0の二つの解である。
(r-9)(r+3)=0
p^3=-3,q^3=9とし、w^3=1,w≠1,s=3^(1/3)とすると
pq∈Rより
(p,q)=(-s,s^2),(-sw,s^2w^2),(-sw^2,s^2w)となり
x=p+qより三つの解が得られる。