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朱雀
2012/12/28 00:47
ちなみに，ヘルプ問題の式変形は結果を得てからの後づけです(汗．結構トリッキーな変形をしているので，思いつくのは難しいかもしれません．そこで，そのような変形よりはまだ思いつきやすい，私が用いた解き方でも載せときますね．
まず，因数分解するために，方程式
x3y-xy3-x2+y2+2xy-1=0 …①
の解を探したい．そこで，x3y-xy3-x2+y2+2xy-1におけるx,yの高い対称性に着目する．前4項は交代式，後2項は対称式である．①で，左辺に交代式部分を，右辺に対称式部分を集めて
x3y-xy3-x2+y2=-2xy+1 …②
交代式g(x,y)はg(x,y)=-g(y,x)を満たすので，g(x,x)=-g(x,x)，すなわちg(x,x)=0を満たす．これはy=xがg(x,y)=0の解であることを意味し，x-yを因数に持つことを意味する．割り算すれば
x3y-xy3-x2+y2=(x-y)(xy2+x2y-x-y)=(x-y)(x+y)(xy-1)
と予想外に綺麗に因数分解される．よって②は
(x-y)(x+y)(xy-1)=-2xy+1 …③
となる．この方程式の解を求めるために変数変換をしたい．そこで，両辺を2乗する．両辺を2乗しても③の解は失われないことと，両辺が対称式になることが重要である．
(x-y)2(x+y)2(xy-1)2=(-2xy+1)2 …④
対称式はp=x+y,q=xyを用いて表せる．実際にやってみると
(p2-4q)p2(q-1)2=(-2q+1)2 …⑤
r=p2と置いて⑤を整理すると
(q-1)2r2-4q(q-1)2r-(2q-1)2=0 …⑥
これを解くと
r=p2=(2q-1)2/(q-1),1/(1-q)
を得る．このどちらかが③の解である．どちらが③の解であるかを検討する．p=0となる解を探す．p=x+yよりx=-yが解になるかを考える．x=-yを代入して
-y4+y4-y2+y2=2y2+1
⇔0=2y2+1
これを満たすような実数yは存在しないので，実数の範囲でp=0となりうるp2=(2q-1)2/(q-1)は不適．
したがって，③の解はp2=1/(1-q)と考えられる．これをx,yの関係に戻して
(x+y)2=1/(1-xy)
逆に
xy=1-1/(x+y)2
これを①に代入すると
x2(1-1/(x+y)2)-y2(1-1/(x+y)2)-x2+y2-2(1-1/(x+y)2)+1
=(-x2+y2+2(x+y)2-2-(x+y)2)/(x+y)2
=(-x2+y2+(x+y)2-2)/(x+y)2
=2(y2+xy-1)/(x+y)2
=0
であるから，y2+xy-1=0と考えて良い．従って，これを因数に持つ．
xを定数と見ると①はyの3次多項式であり，y2+xy-1はyの2次多項式である．割り算を行うと商がx2-xy+1，余りが0となり，(x2-xy+1)(y2+xy-1)と因数分解された．■
まず，因数分解するために，方程式
x3y-xy3-x2+y2+2xy-1=0 …①
の解を探したい．そこで，x3y-xy3-x2+y2+2xy-1におけるx,yの高い対称性に着目する．前4項は交代式，後2項は対称式である．①で，左辺に交代式部分を，右辺に対称式部分を集めて
x3y-xy3-x2+y2=-2xy+1 …②
交代式g(x,y)はg(x,y)=-g(y,x)を満たすので，g(x,x)=-g(x,x)，すなわちg(x,x)=0を満たす．これはy=xがg(x,y)=0の解であることを意味し，x-yを因数に持つことを意味する．割り算すれば
x3y-xy3-x2+y2=(x-y)(xy2+x2y-x-y)=(x-y)(x+y)(xy-1)
と予想外に綺麗に因数分解される．よって②は
(x-y)(x+y)(xy-1)=-2xy+1 …③
となる．この方程式の解を求めるために変数変換をしたい．そこで，両辺を2乗する．両辺を2乗しても③の解は失われないことと，両辺が対称式になることが重要である．
(x-y)2(x+y)2(xy-1)2=(-2xy+1)2 …④
対称式はp=x+y,q=xyを用いて表せる．実際にやってみると
(p2-4q)p2(q-1)2=(-2q+1)2 …⑤
r=p2と置いて⑤を整理すると
(q-1)2r2-4q(q-1)2r-(2q-1)2=0 …⑥
これを解くと
r=p2=(2q-1)2/(q-1),1/(1-q)
を得る．このどちらかが③の解である．どちらが③の解であるかを検討する．p=0となる解を探す．p=x+yよりx=-yが解になるかを考える．x=-yを代入して
-y4+y4-y2+y2=2y2+1
⇔0=2y2+1
これを満たすような実数yは存在しないので，実数の範囲でp=0となりうるp2=(2q-1)2/(q-1)は不適．
したがって，③の解はp2=1/(1-q)と考えられる．これをx,yの関係に戻して
(x+y)2=1/(1-xy)
逆に
xy=1-1/(x+y)2
これを①に代入すると
x2(1-1/(x+y)2)-y2(1-1/(x+y)2)-x2+y2-2(1-1/(x+y)2)+1
=(-x2+y2+2(x+y)2-2-(x+y)2)/(x+y)2
=(-x2+y2+(x+y)2-2)/(x+y)2
=2(y2+xy-1)/(x+y)2
=0
であるから，y2+xy-1=0と考えて良い．従って，これを因数に持つ．
xを定数と見ると①はyの3次多項式であり，y2+xy-1はyの2次多項式である．割り算を行うと商がx2-xy+1，余りが0となり，(x2-xy+1)(y2+xy-1)と因数分解された．■