ｸｲｽﾞ大陸

　誰も解答してくれないので、問１〜問３までが解ければ「ナス」を差し上げます、と大出血サービスしておくことにしてみます

　あと少しヒントっぽいものでも。例えば問４ですが、ただ単に１２面の内、４面を赤、４面を青、４面を緑に塗り分けるとすれば、その塗り分け方は全部で、₁₂C₄×₈C₄＝34650 通り あることは分かるかと思います。
　しかしそれでは、立体を回転したときに同じになるものが出てくる訳です。つまり数え過ぎてしまっているので、そこから立体の「回転対称性」に着目して、数え過ぎてしまっているものを引いてやる、というのが問４と問５についてこちらで用意している解答方針です。
　まぁこの辺までは考え付いている人も居るかと思いますが、ではどのような「回転対称性」があるのか？というところは、やや知識が必要なのかもしれません。

　具体的に、問４の正十二面体の回転対称性についてだけ説明することにします。串を１本持ってきて立体にぐさりと突き刺し、その串を軸として立体をぐるぐる回すようなイメージを持って以下を読んで頂けると良いかと思います。勿論どこに突き刺しても360°回すと元の立体に戻ってしまいますが、それは回転対称性には含めません。
　まず１つ目。正十二面体の頂点に串を刺して、立体の中心を通って反対側の頂点まで串を貫通させます。この串を軸に120°ぐるりと立体を回転させると元の立体と重なるのが分かるでしょうか。
　２つ目。正十二面体の１つの面の中央に串を刺し、立体の中心を通って反対側の面の中央まで串を貫通させます。この串を軸に72°立体を回転させると元の立体と重なります。
　３つ目。正十二面体の１つの辺の中心に串を刺し、立体の中心を通って反対側の辺の中心まで串を貫通させます。この串を軸に180°立体を回転させると元の立体と重なります。

　この３パターン以外に回転操作が出来るような軸は存在しません。数学的な保証もあります。