ｸｲｽﾞ大陸

うん、あんまり参加者も居ないですが、2/10(木)　に発表すると言ってしまったので、解答を纏めていきます。

今しがた忙しいので大ざっぱに方針を、(1)〜(4)((5)は誘導付きで大学入試に出題されたことがある。)は高校数�V、(5)以降は大学教養の微分積分学や複素関数論で出てきます。

(1) 3倍角を利用。あるいは、cosx (1−sin²x)　と変形して、t＝sinx と置換。

(2) 部分積分です。∫(x)'(logx)²dx＝x(logx)²−∫x{(logx)²}' dx として…。

(3) ∫tanx dx＝∫sinx/cosx dx＝−∫(cosx)'/cosx dx＝−log|cosx|＋C

(4) 部分積分を繰り返します。∫e^xsinx dx　の項がまた出てきますが、これを移行します。

(5) 知識的に積分公式を知っていないと難しいかもしれません、高校数学だと難しいかもしれませんが、大学の微分積分の参考書になら何処ぞでも載ってます。
答え：{(x√(x²＋1)＋log(x＋√(x²＋1)}/2

(6) 重積分の変数変換を利用して解きます。∫[x:0→∞] exp(−x²)dx　の値を公式的に覚えている人も多いはず。
∫[x:0→∞] 10^(−x²) dx ∫[y:0→∞] 10^(−y²) dy ＝

∫[r:0→∞] r 10^(−r²) dr ∫[θ:0→π/2] dθ ＝ [−10^(−r²)/(2log10)]^∞₀ × π/2

＝π/4log10 　従って、∫[x:0→∞] 10^(−x²) dx ＝ √(π/log10)/2

(7) 留数定理を利用します。z＝e^ix と置換し、複素平面上で半径１の円の積分経路を考えます。 あるいはt＝tan(x/2) と置換して、部分分数分解などして、計算量は多いですが、不定積分することも出来ます。答え：2π/√3
t＝tan(x/2) という置換は、お決まりの積分テクニックです。dx＝2・dt/(1＋t²)、cosx＝(1−t²)/(1＋t²) と変形出来て（ちなみに sinx＝2t/(1＋t²)）、三角関数を含む積分をtの有理関数で表すことが出来ます。

(8) これも留数定理を利用。積分経路をやや工夫する必要があり、内角が120°の扇型の経路を考えると楽に計算出来ます。（一周の円や半円を積分経路に取るような問題が多く見られますが、今回の場合はそれでは上手くいきません。）あるいは、これも部分分数分解して、不定積分することも可能です(計算量は多くなりますが。) 答え：2π/3√3
不定積分をする場合は、C₁,C₂,C₃を定数として、1/(1＋x³)＝C₁/(1＋x)＋C₂・(2x−1)/(x²−x＋1)＋C₃/(x²−x＋1)　という形に置き換えることを考えます。3項目は平方完成して、∫1/(x²＋A²) dx＝(1/A)・Arctan(x/A)＋C　を利用します。
これらを纏めると、∫1/(1＋x³) dx＝[log{|x＋1|/√(x²−x＋1}＋√3・Arctan{(2x−1)/√3}]/3＋C (Cは定数)　と、なります。