解答です。
この問題のキーワードは、ズバリ「
連立漸化式」です
さて、それでは解答を・・・。
(1)
対称性より、生徒を次のように二種類に分類して考えることが出来る。
☆C
C B
（☆はA君の位置）
生徒のグループ名を用いて、(n+1)人目までに一度もA君が当たらず、かつ(n+1)人目に当たる人がXグループである確率をX
nとおく。
このとき
B
0=1/3
C
0=2/3
また
B
n+1=1/2 C
nC
n+1=B
nこれらを用いて連立漸化式を解くと
B
n=(1/6){(1+√2)(√2/2)^n - (√2-1)(-√2/2)^n}
C
n=(√2/6){(1+√2)(√2/2)^n + (√2-1)(-√2/2)^n}
よって求める確率は
B
n+C
n=(3+2√2/6)(√2/2)^n + (3-2√2/6)(-√2/2)^n
4人あてる場合はn=3を代入すればよい。
(2)
対称性より、生徒を次のように二種類に分類して考えることが出来る。
C B C
B☆B
C B C
（☆はA君の位置）
生徒のグループ名を用いて、(n+1)人目までに一度もA君が当たらず、かつ(n+1)人目に当たる人がXグループである確率をX
nとおく。
このとき
B
0=1/2
C
0=1/2
また、上図より
B
n+1=1/4 B
n + 1/2 C
nC
n+1=1/2 B
n + 1/2 C
n求める確率はB
n+C
nによって与えられる。連立漸化式を解くと
B
n+C
n={(5+√17)(3+√17/8)^n - (5-√17)(3-√17/8)^n}/2√17
16人あてる場合はn=15を代入すればよい。
(2)の16人の場合は、n=15を代入すれば求まるには求まりますが、かなり面倒です。問題作成時、エクセルによって計算の確認をしていたので、手計算の場合を全く考えていませんでした(;v;)
この問題、実はモデルになった先生が実際にいます。わが恩師であるその先生は、ストップウォッチを適当に止めたときの下一桁を使って、八方向にランダム移動をする、という当て方をしていました。
でも、この当て方って本当に均等なのかなあ・・・と思い、とりあえず四方向verで考えてみよう、となったのがこの問題の始まりです。ただ、期待値が予想以上に難しく、この問題の(1)･(2)を解く限りでは、本当に均等なの？という感じです・・・(-へ-;)
・・・・・・これでおわっちゃ面白くないですよね。ということで、問題にはありませんが、続いて期待値を考えてみましょう
この問題のキーワードは、ズバリ「連立漸化式」です
さて、それでは解答を・・・。
(1)
対称性より、生徒を次のように二種類に分類して考えることが出来る。
☆C
C B
（☆はA君の位置）
生徒のグループ名を用いて、(n+1)人目までに一度もA君が当たらず、かつ(n+1)人目に当たる人がXグループである確率をXnとおく。
このとき
B0=1/3
C0=2/3
また
Bn+1=1/2 Cn
Cn+1=Bn
これらを用いて連立漸化式を解くと
Bn=(1/6){(1+√2)(√2/2)^n - (√2-1)(-√2/2)^n}
Cn=(√2/6){(1+√2)(√2/2)^n + (√2-1)(-√2/2)^n}
よって求める確率は
Bn+Cn=(3+2√2/6)(√2/2)^n + (3-2√2/6)(-√2/2)^n
4人あてる場合はn=3を代入すればよい。
(2)
対称性より、生徒を次のように二種類に分類して考えることが出来る。
C B C
B☆B
C B C
（☆はA君の位置）
生徒のグループ名を用いて、(n+1)人目までに一度もA君が当たらず、かつ(n+1)人目に当たる人がXグループである確率をXnとおく。
このとき
B0=1/2
C0=1/2
また、上図より
Bn+1=1/4 Bn + 1/2 Cn
Cn+1=1/2 Bn + 1/2 Cn
求める確率はBn+Cnによって与えられる。連立漸化式を解くと
Bn+Cn={(5+√17)(3+√17/8)^n - (5-√17)(3-√17/8)^n}/2√17
16人あてる場合はn=15を代入すればよい。
(2)の16人の場合は、n=15を代入すれば求まるには求まりますが、かなり面倒です。問題作成時、エクセルによって計算の確認をしていたので、手計算の場合を全く考えていませんでした(;v;)
この問題、実はモデルになった先生が実際にいます。わが恩師であるその先生は、ストップウォッチを適当に止めたときの下一桁を使って、八方向にランダム移動をする、という当て方をしていました。
でも、この当て方って本当に均等なのかなあ・・・と思い、とりあえず四方向verで考えてみよう、となったのがこの問題の始まりです。ただ、期待値が予想以上に難しく、この問題の(1)･(2)を解く限りでは、本当に均等なの？という感じです・・・(-へ-;)
・・・・・・これでおわっちゃ面白くないですよね。ということで、問題にはありませんが、続いて期待値を考えてみましょう