正解発表

です。
あまりスマートではないので、恥ずかしながらですが…。

まず123で始まり、かつ後ろに123が来ても問題のないパターンを並べていく方法を思いつきました。
�@12312132　�A1231213　�B12313213
�C1231323　�D123132　�E123213　�F1232
以上の７つのパターンを思いつきました。�@から�Fはどれも123で始まり、その後ろに123が来ても問題のない塊ですので並べやすそうです。これらを並べていくことで、長い列が作れると考えました。

しかしそれぞれに相性があり、たとえば�Aの後ろに�@が来ると問題があります。
�@は�D�F、�Aは�@�E、�Bは�@�A�E、�Cは�@�A�B�D、�Dは�B�C�F、�Eは�@�A、�Fは�E
が後ろに来てはいけないし、さらに�D→�@→�Aや｛�A,�E｝→�B→｛�C,�D｝という並びが駄目であることがわかります。
考えていなかった駄目な相性に気が付きましたので、追加（10月2日16：00）
�E→�B→｛�C,�D｝、�F→�@→�A、�F→�D→｛�@,�A｝
以上の問題になる並べ方を避けて並べていけば、かなり長いものが作れると考えました。

さらに、この７つのうち３つを選んで、たとえば�@�B�Dを選んだとして、1を�@に、2を�Bに、3を�Dに、置き換え、数字に直し、さらに置き換えることで無限に長くできるのではとも考えました。
こんな感じです。
123
�@�B�D
1231213212313213123132
�@�B�D�@�B�@�D�B・・・
・・・・・
しかしどの３つを選んでも、相性に問題がありました。その３つは、この問題でいう問題のない並べ方で並べたあらゆる時に、その中の1,2,3が問題ない並び方をするものでなければならないのです。

そこで考えたのが、�@�Aのようにセットを作る方法でした。
このセットの考え方でもって、条件に合う３つを探すと、ありました。
�B�F,�C�E，�D�Aです。
A＝�B�F＝123132131232
B＝�C�E＝1231323123213
C＝�D�A＝1231321231213

A,B,Cは、
この問題でいう問題のない並べ方で並べたあらゆる時に、その中の1,2,3が問題ない並び方をします。

ですので、思いついたやり方のように、
１をA、2をB、3をCに置き換え、A,B,Cをそれぞれ数字に直す、ということをを繰り返すことで無限に長くすることができるのです。
123
ABC（１をA、2をB、3をCに置き換えた）
12313213123212313231232131231321231213（A,B,Cをそれぞれ数字に直した）
ABCACBACABCBABC・・・（１をA、2をB、3をCに置き換えた）
・・・・・