ｸｲｽﾞ大陸

おまけです．

↓ 微妙に違ってはいません．これが加法と乗法の単位元を含む本来の式です．
　小説にどういう形で登場したか，詳細は知りませんが．
　あ，^ の意味は No.5 にありましたよね．No.3 の n は任意の整数を示す
　ので，符号はどちらでもいいのです．

ここに書いちゃっていいのですね．
　e^{π i} = cos π + i sin π = -1
です．ちなみに，複素数に関する指数関数は
　e^z = 1 + z/1! + z²/2! + z³/3! + z⁴/4! + ...
で定義しますから，実数 x (一般に複素数でも良い) に対して，
　e^{i x} = (1 - x²/2! + x⁴/4! - ...) + i (x/1! - x³/3! + ...) = cos x + i sin x
です． また，対数関数は指数関数の逆関数として定義しますので，
任意の整数 n について
　e^{(π/2 + 2nπ) i} = cos(π/2 + 2nπ) + i sin(π/2 + 2nπ) = i
ですから，log i = (π/2 + 2nπ) i です．
さらに，複素べき関数の定義は a^b= e^{b log a} ですから，
　iⁱ = e^{i log i} = e^{- (π/2 + 2nπ)}
が得られます．