ｸｲｽﾞ大陸

解答例の発表が１日遅れてすみません．
いろいろな解答の仕方がありますので，そのうち３つだけをここに示します．

(1) スマートな解答

[2x] = [x] + [x + 1/2] ≧ 2[x]，[2y] + 1 > 2y であるから，

　　[2x] + [2y] = [2x + [2y]] = [x + [2y]/2] + [x + [2y]/2 + 1/2]
　　　　 ≧ [x + [y]] + [x + y] = [x] + [y] + [x + y]

(2) 小数部だけ考えた解答

x = [x] + a, y = [y] + b とおくと，0 ≦ a < 1, 0 ≦ b < 1 であり，
　　[x] + [y] + [x + y] = [x] + [y] + [[x] + a + [y] + b] = 2([x] + [y]) + [a + b],
　　[2x] + [2y] = [2[x] + 2a] + [2[y] + 2b] = 2([x] + [y]) + [2a] + [2b]
であるから，
　　[a + b] ≦ [2a] + [2b]　　--- (*)
を証明すればよい．

これらの値は，下の図に示すようであり，常に (*) が成り立つ．

　　　　 [a + b]　　　　　　　 [2a] + [2b]
　１＋ーーー＋ーーー＋　　１＋ーーー＋ーーー＋
　　｜＼　　　　　　｜　　　｜　　　｜　　　｜
　　｜　＼　　１　　｜　　　｜　１　｜　２　｜
　　｜　　＼　　　　｜　　　｜　　　｜　　　｜　
　ｂ＋　　　＼　　　＋　　ｂ＋ーーー＋ーーー＋
　　｜　　　　＼　　｜　　　｜　　　｜　　　｜　
　　｜　　０　　＼　｜　　　｜　０　｜　１　｜
　　｜　　　　　　＼｜　　　｜　　　｜　　　｜
　０＋ーーー＋ーーー＋　　０＋ーーー＋ーーー＋
　　０　　　ａ　　　１　　　０　　　ａ　　　１

もちろん，この図に対応した場合分けをし，それぞれで不等式の成立を示してもよい．

(3) 答えの欄に書いたものを再掲

x, y の小数部が「1/2 以上か，未満か」という場合分けで，

　　[2x] = [x] + [x + 1/2],　[x + 1/2] + [y + 1/2] ≧ [x + y]

が示せるので，

　　[2x] + [2y] = [x] + [x + 1/2] + [y] + [y + 1/2] ≧ [x] + [y] + [x + y].