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2009/08/24 16:50
連続した正整数で a+ … +b = (a+b)(b-a+1)/2 = n を満たす a, b があるとき，
a+b が偶数なら b-a+1 は奇数，逆に a+b が奇数なら b-a+1 は偶数であるから，
2n は正奇数 x と正偶数 y の積で書ける，つまり x y = 2n であり，以上の議論に
は a = b = n のときを含んでいる．そして，a, b は，この x と y で
a = (|x-y|+1)/2, b = (x+y-1)/2
と表され，組 (a,b) の総数と (x,y) の総数は等しい．
すなわち，2n の奇数の約数全てが x になり得るので，その数を数えれば良い．
それは，2n の素因数分解を
2n = 2m2 3m3 5m5 7m7…
としたとき，2 以外の素因数を何個か掛け合わせてできる異なる数の個数に等しく，
D(n) = (m3+1)×(m5+1)×(m7+1)×…
である．なお，掛けてできる x と y = 2n/x から a, b が求められる．
(1) n = 450 = 2 32 52 のとき，D(450) = (2+1)×(2+1) = 9．
また，x = 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 から得られた a, b より，
6+ … +30 = 13+ … +32 = 23+ … +37 = 32+ … +43 = 46+ … +54
= 88+ … +92 = 111+112+113+114 = 149+150+151 = 450
と表すことができる．
(2) n = 2009 = 72 41 のとき，D(2009) = (2+1)×(1+1) = 6．
また，x = 1, 7, 41, 49, 287, 2009 から得られた a, b より，
17+ … +65 = 29+ … +69 = 137+ … +150 = 284+ … +290
= 1004+1005 = 2009
と表すことができる．
a+b が偶数なら b-a+1 は奇数，逆に a+b が奇数なら b-a+1 は偶数であるから，
2n は正奇数 x と正偶数 y の積で書ける，つまり x y = 2n であり，以上の議論に
は a = b = n のときを含んでいる．そして，a, b は，この x と y で
a = (|x-y|+1)/2, b = (x+y-1)/2
と表され，組 (a,b) の総数と (x,y) の総数は等しい．
すなわち，2n の奇数の約数全てが x になり得るので，その数を数えれば良い．
それは，2n の素因数分解を
2n = 2m2 3m3 5m5 7m7…
としたとき，2 以外の素因数を何個か掛け合わせてできる異なる数の個数に等しく，
D(n) = (m3+1)×(m5+1)×(m7+1)×…
である．なお，掛けてできる x と y = 2n/x から a, b が求められる．
(1) n = 450 = 2 32 52 のとき，D(450) = (2+1)×(2+1) = 9．
また，x = 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 から得られた a, b より，
6+ … +30 = 13+ … +32 = 23+ … +37 = 32+ … +43 = 46+ … +54
= 88+ … +92 = 111+112+113+114 = 149+150+151 = 450
と表すことができる．
(2) n = 2009 = 72 41 のとき，D(2009) = (2+1)×(1+1) = 6．
また，x = 1, 7, 41, 49, 287, 2009 から得られた a, b より，
17+ … +65 = 29+ … +69 = 137+ … +150 = 284+ … +290
= 1004+1005 = 2009
と表すことができる．