しばらく時間をおいてみましたが、特に新しいコメントもありませんでしたので、そろそろ解答発表に参ります
…というか、ほとんどNo.37が答えなんですけどね
（No.37の続きから）
結局 (S/x)^x の最大値は実数なら x=S/e が最大です。
しかし、いま考えるのは自然数個に分割する、という場合であるので、S/e が自然数となるとき以外は、S/e付近の自然数が積最大値の候補となるはずです。
これが積最大値の探索方法となるわけです。
つまり、与えられた和Sに対してS/eを計算する。
（ａ）計算結果が自然数nになったなら、Sをn個に等分するのが積最大。
（ｂ）そうでないときはS/eの前後の自然数をn,n+1として、n等分、(n+1)等分した場合それぞれを計算して大小を比較すればいい。
ということになります。
では実際にこれを使って（その一）（その二）を考えてみましょう。
（その一）S=9のとき。
9/e = 9/2.718… = 3.3…
ですので、3個か4個の分割が積最大になります。
3個に分けた場合、3*3*3=27。
4個に分けた場合、(9/4)*(9/4)*(9/4)*(9/4)=25.62…
となるので、3個に等分するのが積最大となり、その最大値は27です。
（その二）S=27のとき。
27/e = 27/2.718… = 9.9…
ですので、9個か10個の分割が積最大になります。
9個に分けた場合、3^9=19683。
10個に分けた場合、(2.7)^10=20589.1…
となるので、10個に等分するのが積最大となり、その最大値はおよそ20589です。
自然数限定の場合の最大値は3^9=19683ですので、それよりもおよそ900増えましたね
（その三）は上に書いたとおりで、ネイピア数eが鍵となるのでした
以上が今回用意していた解答です。
なんとなく理系高校数学の問題集に載っていそうな気もしますが…
多数のご参加、ありがとうございました
しばらく開けておきますので、感想等コメントお待ちしております
…というか、ほとんどNo.37が答えなんですけどね
（No.37の続きから）
結局 (S/x)^x の最大値は実数なら x=S/e が最大です。
しかし、いま考えるのは自然数個に分割する、という場合であるので、S/e が自然数となるとき以外は、S/e付近の自然数が積最大値の候補となるはずです。
これが積最大値の探索方法となるわけです。
つまり、与えられた和Sに対してS/eを計算する。
（ａ）計算結果が自然数nになったなら、Sをn個に等分するのが積最大。
（ｂ）そうでないときはS/eの前後の自然数をn,n+1として、n等分、(n+1)等分した場合それぞれを計算して大小を比較すればいい。
ということになります。
では実際にこれを使って（その一）（その二）を考えてみましょう。
（その一）S=9のとき。
9/e = 9/2.718… = 3.3…
ですので、3個か4個の分割が積最大になります。
3個に分けた場合、3*3*3=27。
4個に分けた場合、(9/4)*(9/4)*(9/4)*(9/4)=25.62…
となるので、3個に等分するのが積最大となり、その最大値は27です。
（その二）S=27のとき。
27/e = 27/2.718… = 9.9…
ですので、9個か10個の分割が積最大になります。
9個に分けた場合、3^9=19683。
10個に分けた場合、(2.7)^10=20589.1…
となるので、10個に等分するのが積最大となり、その最大値はおよそ20589です。
自然数限定の場合の最大値は3^9=19683ですので、それよりもおよそ900増えましたね
（その三）は上に書いたとおりで、ネイピア数eが鍵となるのでした
以上が今回用意していた解答です。
なんとなく理系高校数学の問題集に載っていそうな気もしますが…
多数のご参加、ありがとうございました
しばらく開けておきますので、感想等コメントお待ちしております