またもや少しだけ回答を進めます。
Sをn個の和に分解した場合、その積最大値は均等に分割したときでしたので、
(S/n)^n
と書けます。
これが最大値をとるときのnの値が、求める分割の個数になります。
ここから先は微分を使いますので、数Ⅲの知識が必要となります。
（微分を使わなくても解けるかもしれないのですが、ちょっとうまい方法が思いつきませんでした(;v;) 文系の方々、あるいは数Ⅲをまだ習っていない方々、申し訳ありませんでした。）
nは自然数ですが、
f(x) = (S/x)^x (x＞0の実数)
のように少し定義域を変更して関数を設定します。（微分を使えるようにするため）
上の数式は明らかに正の値なので、底がe（eはネイピア数で、e=2.718…）の対数（いわゆる自然対数）をとります。
（底はeで固定のため表記していません）
log(f(x)) = x {log(S) - log(x)}
両辺微分すると、
f'(x)/f(x) = log(S)-log(x)-1 = log{S/(ex)}
したがって
f'(x) = f(x) * log{S/(ex)}
となります。
f'(x)=0となるのはf(x)＞0ですので、log{S/(ex)}=0すなわちx=S/eのときのみです。
x＜S/eではf'(x)＞0、x＞S/eではf'(x)＜0となり極大値であることがわかります。
また極値がここの一箇所だけ、さらにx＞0で連続かつ微分可能なので、ここが最大となります。
したがってf(x)=(S/x)^xの最大値はx=S/eのとき、となります。
もうほとんど答えですけど解答発表はもう少ししてから、ということで
Sをn個の和に分解した場合、その積最大値は均等に分割したときでしたので、
(S/n)^n
と書けます。
これが最大値をとるときのnの値が、求める分割の個数になります。
ここから先は微分を使いますので、数Ⅲの知識が必要となります。
（微分を使わなくても解けるかもしれないのですが、ちょっとうまい方法が思いつきませんでした(;v;) 文系の方々、あるいは数Ⅲをまだ習っていない方々、申し訳ありませんでした。）
nは自然数ですが、
f(x) = (S/x)^x (x＞0の実数)
のように少し定義域を変更して関数を設定します。（微分を使えるようにするため）
上の数式は明らかに正の値なので、底がe（eはネイピア数で、e=2.718…）の対数（いわゆる自然対数）をとります。
（底はeで固定のため表記していません）
log(f(x)) = x {log(S) - log(x)}
両辺微分すると、
f'(x)/f(x) = log(S)-log(x)-1 = log{S/(ex)}
したがって
f'(x) = f(x) * log{S/(ex)}
となります。
f'(x)=0となるのはf(x)＞0ですので、log{S/(ex)}=0すなわちx=S/eのときのみです。
x＜S/eではf'(x)＞0、x＞S/eではf'(x)＜0となり極大値であることがわかります。
また極値がここの一箇所だけ、さらにx＞0で連続かつ微分可能なので、ここが最大となります。
したがってf(x)=(S/x)^xの最大値はx=S/eのとき、となります。
もうほとんど答えですけど解答発表はもう少ししてから、ということで